化归思想在数学分析中的应用

化归思想是数学的灵魂,它是数学中解决问题的一种非常重要的思想方法。简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉的问题的一种数学思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,并选择恰当的变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上,最终解决原始问题。由此可见,运用化归的方法可以使要解决的问题简算化、熟悉化、具体化。这种思想现在已经渗透到数学学习的各个分支中,特别是在数学分析中。

化归思想在数学中有着广泛的应用。下面我们就从几个方面来讨论化归思想在数学分析中的应用。

一、极限中的化归思想

1.数列问题化归为级数问题

数列的敛散性和级数的敛散性实质上是等价的。事实上,设x1=a1,…,xn=a1+a2+…+an(n≥1),则数列收敛{xn}级数收敛∞n=1an,当二者都收敛时有limx→∞xn=∞n=1an。因此,判定数列{xn}的敛散性与求limx→∞xn存在与否,可归结为判定∞n=1an的敛散性与求S=∞n=1an.

例1证明limx→∞(n+1)!(2n)!!=0.

证明 设an(n+1)!(2n)!!,则有limn→∞an+1an=limn→∞n+22n+2=12<1,因此由比式判别法的极限形式知:∞n=1=∞n=1an(n+1)!(2n)!!是收敛的,所以limn→∞(n+1)!(2n)!!=0.

2. 数列极限化归为函数极限

海涅定理说明数列极限和函数极限是可以相互转化的, 而计算函数极限有 “ L’Hospital 法则 ”“泰勒公式”这样强有力的方法可以利用,从而在计算数列极限时,应优先考虑将其转化为函数极限。一般方法是:选取函数f(x)与数列{xn},使an=f(xn)且xn→a(n→∞),于是有limn→∞an=limn→∞f(xn)=limn→∞f(x)。这样计算数列极限就转化为计算函数极限了,这种化归思想在某些时候是特别有效的。

例2 计算limn→∞[ne-n(ne-1)].

解 设x=1n,那么n→∞就相当于x=1n→0,

于是有limn→∞n[ne-n(ne-1)]=limx→0x-1[ex-1]=limx→0xex-ex+1x2,那么

原式=limx→∞xex-ex+1x2(利用了L’Hospital法则)

=limx→∞xex+ex-ex2x=limx→∞12ex=12.

3.多元函数极限化归为一元函数极限

多元函数极限的计算,有许多技巧,需要灵活掌握和运用。但我们可以将多元函数的极限问题,通过变量替换化归为一元函数的极限问题来讨论。

例3 求lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2的极限。

分析 若考虑f(x)沿着某方向(cosθ,sinθ)的极限,则可令x=x0=ρcosθ,y=y0+ρsinθ那么

lim(x,y)→(0,0)f(x,y)=limρ-0f(x0+ρcosθ,y0+ρsinθ),这样求二重极限就可通过极坐标变换归结为求一元函数的极限。

解 设x=ρcosθ,y=ρsinθ,由sinθ与cosθ的有界性,有

lim(x,y)→(0,0)=x3+y3x2+y2=limp→0ρ3(sin3θ+cosθ)ρ2

=limρ→0ρ(sin3θ+cos3θ)=0.

二、 微分学中的化归思想

1. 拉格朗日中值定理证明的化归

在我们要讨论怎样由导数f′的已知性质来推断函数f所应具有的性质时,微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)便是进行这一讨论的有效工具。下面就我们来看拉格朗日中值定理的证明过程。

例1(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数f满足如下条件:(ⅰ) f在闭区间[a,b]上连续;(ⅱ) f在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点,使得

f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a.

分析 显然,特别当f(a)=f(b)时,定理结论即为我们所熟悉的罗尔定理的结论。这表明拉格朗日中值定理的证明可以最终化归为罗尔定理的证明。

证 作辅助函数:F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a).

显然,F(a)=F(b)(=0),且F在[a,b]上满足罗尔定理的条件。故存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=f′(ξ)-f(b)-f(a)b-a=0,移项后即得f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a。

2. 微分变元个数上的化归

在解决问题的过程中,多元函数求导的所有问题都可以化归为一元函数的求导问题。求多元函数偏导数,就是将一个一元看成变量,而将其他的变元暂看成常量而进行,对变量求导数就是对多元函数求偏导数。这里以对复合函数求导为例来讲解。

例5 求函数y=e1+sinx的导函数.

解 将y=y(x)=e1+sinx 看成是由

y=f(u)=euu=g(v)=vv=h(x)=1+sinx复合而成的函数,那么我们运用复合函数的微分公式有:dydx=dfau×dgdv×dhdx=en×12v×

cosx=e1+sinxcosx21+sinx.

这样,就我们就达到了化多元为一元,用复合函数求导的目的。

3. 微分中的阶数上的化归

导数概念首先定义了一阶导数,而后在一阶导数的基础上再定义高阶导数,这说明高阶导数的计算问题可化归为一阶导数的求导问题。公式f(n)(n)=(f(n-1)(x))′充分说明了这一问题的转化,我们看下面的例子。

例6 求y=lnx的n阶导函数。

解 因为(lnx)′=1x=x-1,于是

(lnx)″=(x-1)′=-x-2,(lnx)=(-x-2)′=2x-3,(lnx)(4)=(2x-3)′=-3×2x-4,……,

依次类推,就可以推导出它的一般规律如下:

(lnx)(n)=(-1)n-1(n-1)(n-2)…3×2x-n=(-1)n(n-1)!xn.

因此,在微分中可以处处体现出化归思想的普遍应用以及其重要性。

三、 不定积分中的化归思想

1. 不定积分中用变量替换的化归

对于一个不定积分,当表达式不能直接从基本的求导公式或微分公式出发而求解时,我们常用的方法是换元积分法和分部积分法(其中换元积分法又有第一类换元和第二类换元积分法。这种求解方法体现了将一个复杂变量化归为简单变量的思想)然后再逆用基本求导公式。而换元积分法是数学研究中最常用的技巧之一,看下面的例子。

例7 求∫dxx-2a.

解 先将函数f(x)=1x-2a看成是f(u)=1u和u=x-2a的复合函数,因为d(x-2a)=dx,所以

∫dxx-2a=(用u=x-2a回代)∫d(x-2a)x-2a(作变量替换u=x-2a)=∫duu=ln|u|+C

=ln|x-2a|+C(C为任意常数).

2. 不定积分中用分部积分法的化归

有些不定积分无法直接用换元积分求解,但却可以利用分部积分法求解。分部积分法的化归思想是:求积分时,当我们不宜或无法直接求出其原函数时,可以采用此方法将其一步步转化为易求出其原函数的“不定积分形式”。那么让我们看一个用分部积分法求不定积分的例子。以此来说明分部积分法也同样体现着化归思想应用的广泛性和重要性。

例8 求∫x3exdx.

解 将x3看成u(x),将ex看成,则u′(x)=3x2而v(x)=ex,那么把它们代入分部积分公式,有∫x3exdx=∫x3d(ex)=x3ex-∫exd(x3)=x3ex-3∫x2exdx,

然后对后一项再用一次分部积分,有

∫x2exdx=∫x2d(ex)=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2(fxd(ex))=x2ex-2(xex-ex)+C.

于是可得∫x3exdx=ex(x3-3x2+6x-6)+C.(C为任意常数)

从以上例子可看出,由于计算时运用了化归方法,这道题解起来就显得既方便又简捷了。

四、 定积分学中的化归思想

1. 二重积分与累次积分之间的化归

二重积分计算的基本方法是化二重积分为累次积分。这种计算方法就体现了化归方法的应用,即将不熟悉的二重积分化归为我们熟悉的定积分。这几乎是计算二重积分唯一可行的方法。这方面的例子是非常多的,在这里举一个化累次积分为二重积分的例子。

例9 求∫10dx∫1xe-y2dy.

解 由于内层积分我们无法算出,所以要进行转化,因此,有

∫10dx∫1xy2dy=∫∫0≤x≤1,x≤y≤1e-y2dy=12e(e-1).

2. 曲线积分化归为定积分

曲线积分的计算同样体现着化归思想。第一型曲线积分或第二型曲线积分,都可归结为定积分来计算。在这里我们主要讨论第二型曲线积分与二重积分及定积分间的转化。

例10 求∫Cxy2dy-x2ydx,其中C是圆周x2+y2=a2.

解 由格林公式,可知P(x,y)=-x2y,Q(x,y)=xy2,则有Py=-x2,Qx=y2,

从而有∫Cxy2dy-C2ydx=∫∫C(y2+x2)dxdy,其中G是圆域x2+yy≤a2.

设x=rcosφ,y=rsinφ,那么

∫Cxy2dy-x2ydx=∫∫C(y2+x2)dxdy=∫2π0dφ∫a0r3dr=π2(a4-1).

3. 曲面积分化归为重积分

曲面积分的计算也体现着化归思想。第一型曲面积分或第二型曲面积分,都必须化为重积分来计算,然后将重积分化为累次积分来计算。

例11 计算∫∫x3dydz+y3dzdx+z3dxdy,其中是球面x2+y2+z2=a2(a>0)的外侧。

分析 若按求曲面积分的一般方法,则需把积分区域投影到三个坐标面上,这样计算会十分繁杂。所以可考虑用映射变换法,即取高斯公式和球面坐标变换作两次映射而进行化归处理。

解 利用高斯公式和球面坐标变换,可得

∫∫x3dydz+y3dzdx+z3dxdy=3

∫∫∫x2+y2+z2≤a2(x2+y2+z2)dxdydz

=3∫2π0dθ∫π0dφ∫a0r4sinφdr=125π(a5-1).

另外,在积分学中还有三重积分与累次积分之间的化归,曲线积分与曲面积分之间的化归,曲面积分与三重积分之间的化归,因此在积分学中化归思想也得到充分体现。