关于凸函数及其应用教学伦理

【摘要】数学分析是理工科大学生必修的基础理论课，它的任务是掌握逻辑思维方法，提高使用数学手段分析解决问题的能力。对于数学专业的学生而言，主要是为专业课提供可靠的数学工具和解决问题的手段。凸函数是数学分析中的一种很重要的函数，它在数学中的应用很广。

【关键词】凸函数微分中值定理泰勒公式

一、引言

凸函数是一个十分重要的数学概念，它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。60年代中期诞生的一门新的数学分科—凸分析，就是以凸集和凸函数为基本研究对象的，现已成为数学规划论、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的重要理论基础和有力工具.

凸函数是数学分析中的一种很重要函数，关于凸函数，很多数学分析书中作了介绍，但是大都显得很零碎，为了使大家对凸函数有一个较全面的了解，本文将对凸函数的性质(包括定义)，以及由凸函数的定义和性质所引出的一些命题，作一个较详细的说明，并且对凸函数的应用作简要的介绍。例如利用凸函数证明一些比较复杂的不等式，有时可以减少证明的难度。为了进一步扩大它的应用，很有必要对凸函数作进一步的讨论。

凸函数在数学的许多分支如数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等中都有运用，它有许多不同的定义方法，这些定义形式各不相同，条件有强有弱，彼此之间又密切相关。凸函数在最优化理论中起着重要的作用，为了突破传统最优化理论的局限性，近年来，人们从多种途径推广凸函数的定义。首先给出通常使用的凸函数的四种定义方法，然后对它们之间的关系进行研究。以下文中的凸函数，如果没有特别说明，均指下凸函数。

二、凸函数判定定理及其应用

1．凸函数相关定理

定理1.1设函数f（x）在区间I可导,f(x)在区间I内是凸函数的充要条件是：x1，x2I且x1x2，有f、（x1）≤f、（x2）

证明：必要性：若f（x）在区间I是凸函数，且x1，x2I且x1x2，x：x1xx2由定义有

已知函数f（x）在x1与x2皆连续可导.根据极限保号性定理分别有

由凸函数定义知，函数f（x）在区间I是凸函数.

定理1.2：设函数f（x）在区间I可导,f（x）在区间I内是凸函数的充要条件是：曲线y=f（x）位于它们的任意一点切线的上方.

3.高考题中的凸函数题型及其应用

凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐.初等函数基本都是凸函数,研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用将大有益处.

例3：(2005北京)对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2 (x1≠x2),有如下结论:

当f(x)=1nx时,上述结论中正确结论的序号是.

解题分析：①②考查指数与对数的运算公式,③考查函数的增减性, ④考查函数凹、凸性质,题目设计得很好,而且不难,答案为②③.

我们知道,在做解析几何问题时,将题目中的几何条件转化为代数式(或方程)是关键的一步,而转化得简单,才可能使后续的计算方便,避免算不出,或计算错。巧妙构造和运用凸函数性质,可以把难题简单化,还能使学生在解决问题的过程中感受到数学美和成功感.从近年的高考命题趋势看,凸函数可能成为考查函数各种性质的载体而成为新热点.

总之,要解决好数学题目中的计算问题,首先要设计好算法流程,选择好计算方式,对四则运算要熟练和准确.在平时解题时要注意观察、分析、总结,练好基本功,才能解决好数学中的计算问题.

三、结束语

本文讨论了凸函数及其应用，由于凸函数的灵活性对函数观察的角度不同，思考的侧面不同，分析和把握的重点各异，自然选择的方法和技巧就不同，就出现了一题多解的问题，面对这样的问题，如何多中选优，优中择巧，怎样才能既方便又快捷，确保准确无误，是凸函数应用中更深层次和耐人寻味的问题。解决这样的问题，有一般规律，但更多的是凭经验，靠积累，这样在学习过程中就需要我们熟悉一批典型例题，认真做大量精选过的典型习题。掌握各种方法的凑型技巧,各种方法之间的区别与联系,如果注意总结归纳，既可提高悟性，亦可有所发现，有所突破，有所创新。

参考文献

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