九年 ঃ ( 下)
大招 fi
---- 王杭(大佬坑)
- 相似必备定理
fi
大招
大flⴤfi供
大flⴤfi供
B A P A C P
B
D
T
B A
D C P
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
B
A C
D
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
A
B C
D
大flⴤfi供
- 1 1
2345
模型
fi
大招
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 轨迹问题
fi
大招
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
如图, O 是Rt△ ABC
斜4 AB 的中点, CH
AB 于 H ,延fi CH K D ,使得 CH
DH , F
为 CO 上任意一点,䗷 B 作 BE
AF
于
E
,½ 接
DE 交
BC
于 G
.则下列㔃䇪‰䈟的是 (
)
A. OA
OB
OC
B. AOC
2 ABC
C. AB
2 FG
D. CAF
CDE
大flⴤfi供
大flⴤfi供
3
3
如图所 ⽪ ,⸙形 ABCD 的4
AB 3 , RtBEF 的⸙䀂亦点 E 在对䀂㓯 AC 上,另一亦点
F 在4 CD 上,@ BEF 的一个¾䀂为 30
,则 BC 的fi是 ( )
A. B. 3
C. 3 或 . D. 6
大flⴤfi供
3
3
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
如图,已ª AB =12 ,A C 、 D 在 AB 上,且 AC=DB =2 ,A P 从A C ⋯㓯¼ CD 向A D 䘀动 ( 䘀动到A D 停‡ ) ,以 AP 、 BP 为ᯌ4在 AB 同侧ᯌ 㞠 Rt △ APE 和 㞠 Rt △ PBF ,½接 EF ,取 EF 中A G ,则 EF 中A G fi动 䐟径fi为
大flⴤfi供
大flⴤfi供
在ᯌ形 ABCD 中,A P 在 AD 上, AB =2 , AP =1 ,将三䀂 ᶯ
ᯌ䀂亦A放在A P 处,三䀂 ᶯ
两ᯌ䀂4分别㜭与 AB 、 BC 4ᯌ交于A E 、 F ,½接 EF .将三䀂 ᶯ
从 位$开始,‰A P 亪 "ᯌ䖜,当A E 与A A 䟽合 停‡,在䘉个䗷¼中,
∠ PEF
大小%否发R变化?䈧䈤ᯌ ⨶ $;从开始到停‡,㓯¼ EF 中A所㓿䗷 䐟㓯fi%多少?
D
C
大flⴤfi供
A
P
E
B
F
大flⴤfi供
如图 1 ,已ªfl{形 OABC 4fi为 2 ,亦A A 、 C 分别在 x 、 y 䖤 fl半䖤上,
M
%
BC
中A. P (0, m ) %㓯¼
OC
上一动A ( C
Aƒ外 ),ᯌ㓯
PM
交
AB
延 fi㓯于A D .
( 1 )
fiA
D
坐ƒ($含
m
代数式$ ⽪ );
( 2 )䇮䗷 P 、 M 、 B 三 A 抛fl㓯与 x 䖤fl半䖤交于A E , 䗷A O 作ᯌ㓯 ME
垂㓯,垂fl为
H (如图
2 ). 当A
P
从
O
向
C
䘀动 , A
H
也‰之䘀动.䈧ᯌ接写出A
H
所㓿䗷 䐟fi(不必写䀓ㆄ䗷¼ ).
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 抛物线焦点与i fi 线
fi
大招
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
抛fl㓯:
y 1 x 2
4
1 ,A
F
0,
2
, ½ᯌ 抛fl㓯上 A 到 F
®} 于到 x
䖤 ®} .
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
如图,已ª抛fl㓯与坐ƒ䖤分别交于
A 2, 0 、 B 2, 0
、 C 0, 1
三A,䗷坐ƒ原 A
O ᯌ㓯 y kx 与抛fl㓯交于 M 、 N 两 A,分别䗷 A C 、 D 0, 2
作平㹼于 x 䖤 ᯌ
㓯 l 1 、l 2 .
(1)
fi抛fl㓯对应 二ᯌ函数 䀓fl式;
(2)
fi½以 ON 为ᯌ径 圆与ᯌ㓯l 1
ᯌ切;
(3)
fi 㓯¼
MN
fi
$ k $ ⽪
,并½ ᯌ
M 、 N
两A 到ᯌ㓯 l 2
®} 之和 于㓯¼
大 flⴤfi 供
MN fi.
大flⴤfi供
在平䶒ᯌ䀂 坐ƒ fi中, A
P 为抛fl㓯 y 1 x 2 上 一 A,A
4 A 0,1
再 y 䖤上. A
P 在什么位
$ , PA PB ᴰ 小?䗷 A B 作ᯌ㓯 l :
y 1 垂㓯 BH ,BH 与抛fl㓯交于 A P ,P 在 P 处
PA PB ᴰ 小,则A P 即为所fi.
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 海盗埋宝升级
fi
大招
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 胡不归与阿氏圆
fi
大招
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
2
1、 AB mCD ---ᯌ㓯㊫ ①在平䶒ᯌ䀂坐ƒfi中,A
A 1, 0
, B 0, 2
, P 为㓯 ¼ OB 上一动A,fi 2
2
BP
PA ᴰ
小值,并
P 坐ƒ;
②在平䶒ᯌ䀂坐 ƒfi 中, A
A 1,
0
,B 0, 3 ,P 为㓯¼
OB 上一动 A ,fi 1
BP PA ᴰ小
值,并fifl A
P 坐 ƒ ;
3
BP
5
PA ᴰ 小值呢?
大flⴤfi供
大flⴤfi供
2、 AB mCD ---圆㊫
③如图,⊙O 半径为 2,A
A 2,
2
, B
2,
2
,P % ⊙O 上一 A, fi BP
2 AP 2
ᴰ小值
大flⴤfi供
大flⴤfi供
④在平䶒ᯌ䀂 坐 ƒfi中,⊙ O 半径为 2 ,A
A 4, 4
, B 4, 0
,A P %⊙ O 上一动A,fi
1 PB PA 2
ᴰ小值.
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
在平䶒ᯌ䀂 坐 ƒfi xOy 中,抛fl㓯 y x 2
2mx m 2
m 亦A为 C . ( 1 )
fiA
C
坐 ƒ( $ 含
m
代数 式$ ⽪ );
( 2 )ᯌ㓯 y
x
2 与抛fl㓯交于 A 、 B 两A,A A 在抛fl㓯 对ƒ 䖤左侧.
① @
P
为ᯌ㓯
OC
上一动 A,fi △ APB
䶒〟;
②抛fl㓯 对ƒ 䖤与ᯌ㓯 AB 交于 A M ,作 A B 关于ᯌ㓯 MC 对 ƒA B
.以 M 为圆心,
MC
为半径 圆上存在一 A
Q ,使得 QB
" 2 QB
2
值ᴰ小,则䘉个ᴰ小值为
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
在平䶒ᯌ䀂 坐 ƒfi xOy 中,抛fl㓯 y x 2
2mx m 2
m 亦A为 C . ( 1 )
fiA
C
坐 ƒ( $ 含
m
代数 式$ ⽪ );
( 2 )ᯌ㓯 y
x
2 与抛fl㓯交于 A 、 B 两A,A A 在抛fl㓯 对ƒ 䖤左侧.
① @
P
为ᯌ㓯
OC
上一动 A,fi △ APB
䶒〟;
②抛fl㓯 对ƒ 䖤与ᯌ㓯 AB 交于 A M ,作 A B 关于ᯌ㓯 MC 对 ƒA B
.以 M 为圆心,
MC
为半径 圆上存在一 A
Q ,使得 QB
" 2 QB
2
值ᴰ小,则䘉个ᴰ小值为
大flⴤfi供
在平䶒ᯌ䀂坐ƒfi中,将二ᯌ函数 y
ax 2 ( a 0 )
图 向右平fi 1 个单位,再向下平fi
2
个单位,得到如图所 ⽪ 抛fl㓯, 抛fl㓯与
x
䖤交 于A
A
,
B
(A
A
在A
B
左侧),
OA 1 ,㓿䗷 A A 一ᯌ函数 y
kx
b ( k 0 )
图 与 y 䖤fl半䖤交 于A C ,且与抛
fl㓯 另一个交A为 D , ABD 䶒〟为 5 .
(1)fi抛fl㓯和一ᯌ函数 䀓fl式. ( 2 )@A P 为 x 䖤上任意一 A, 在上一䰞 㔃䇪下,fi PE 3 PA 5
ᴰ小值. 大flⴤfi供
大flⴤfi供
大招 fi - -
瓜豆原 理
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 角度存在性问题
fi
大招
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
如图,抛fl㓯 y x 2
bx c 与ᯌ㓯 y 1
x 2
2
交于 C,D 两 A ,其中 A
C 在 y 䖤上, A D 坐ƒ为
3,
7
.A
P %
y 䖤右侧抛fl㓯上一动 A ,䗷 A
P 作 PE ⊥ x
2
䖤于A E ,
交 CD 于A F .
(1)fi抛fl㓯 䀓fl式; ( 2 )@存在A P ,使 PCF
45
,䈧ᯌ接写出ᯌ应 A
P 坐 ƒ.
大flⴤfi供
大flⴤfi供
如图,抛fl㓯 y x 2 mx m 1与 x 䖤交于 A
A x , 0 , B x , 0 , x x ,与 y 䖤
交于A C 0, c ,且┑fl x 2
x 2
x x 7 . 1 2 1 2
1 2 1 2
(1)fi抛fl㓯 䀓fl式; (2)在抛fl㓯上㜭不㜭找到一A P,使 @不㜭,䈧䈤ᯌ ⨶ $.
POC
PCO ?@㜭,䈧fi出A P 坐ƒ;
大flⴤfi供
大flⴤfi供
如图 ,A A 与A B 坐ƒ 分别 % 1, 0
, 5, 0
,A P ᯌ 䀂 坐 ƒfi内 一个 动 A.
(1)使 APB
30
A P $
个;
(2)@A P 在 y 䖤上,且 APB
30
,fi┑fl ᶑ 件 A P 坐 ƒ;
(3)当A P 在 y 䖤上fi动 , APB %否$ ᴰ 大值 ?@$,fiA P 坐ƒ,并䈤ᯌ
APB ᴰ 大 ⨶ $;@⋑$, 也䈧䈤 ᯌ ⨶ $.
大flⴤfi供
大flⴤfi供
如图 ,A A 与A B 坐ƒ 分别 % 1, 0
, 5, 0
,A P ᯌ 䀂 坐 ƒfi内 一个 动 A.
(1)使 APB
30
A P $
个;
(2)@A P 在 y 䖤上,且 APB
30
,fi┑fl ᶑ 件 A P 坐 ƒ;
(3)当A P 在 y 䖤上fi动 , APB %否$ ᴰ 大值 ?@$,fiA P 坐ƒ,并䈤ᯌ
APB ᴰ 大 ⨶ $;@⋑$, 也䈧䈤 ᯌ ⨶ $.
大flⴤfi供
大flⴤfi供
如图 1 ,二ᯌ函数 y ax 2
bx c 图 与 x 䖤分别交于 A , B 两A, 与 y 䖤交于A C .@
tan
ABC
3 ,一元二ᯌ {¼
ax 2
bx
c
0
为:
x
8 , x
2
. 1 2 (1)fi二ᯌ函数 䀓fl式; ( 2 )ᯌ㓯 l ‰A A 以 AB 为fl始位 $亪 "ᯌ 䖜到 AC 位$停 ‡, l 与㓯 ¼ BC 交于A D ,
P % AD 中 A.
①fi A
P
䘀动 䐟¼ ;
大flⴤfi供
大flⴤfi供
② 如图 2 ,䗷A D 作 DE 垂ᯌ x 䖤于 A E ,作 DF
AC
所在ᯌ㓯于A F ,½㔃 PE ,
PF ,在 l 䘀动䗷¼中, EPF
大小%否改变?䈧䈤ᯌ ⨶ $;
( 3 )在( 2 )
ᶑ 件下,½㔃 EF ,fi
周 ᴰ小值.
大flⴤfi供
PEF
大flⴤfi供
- 等腰三角形存在性
fi
大招
大flⴤfi供
A B A B
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
已 ª ᯌ 㓯
y 3x 3 与 坐 ƒ 䖤 分 别 交 于 A A , B , A P 在 抛 fl 㓯
y 1 x 3
3 2 4 上,㜭使△ABP
为 㞠三䀂形 A P 个数$( )
A.3 个
B.4 个 C.5 个
D.6 个 大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
如图, 已ª 二ᯌ函数 y
ax 2
bx
3 图 交 x 䖤于 A A 1, 0 , B 3, 0,交 y 䖤于 A C .
(1)fi䘉个二ᯌ函数 $ ½式 ;
(2)ᯌ㓯 x
m 分别交ᯌ㓯 BC 和抛fl㓯于 A M , N ,当
㞠三䀂形 ,ᯌ接
写出 m 值.
大flⴤfi供
BMN
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
- ፳ ፳ 角三角形存在性
fi
大招
大flⴤfi供
B
A B A 大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
如图, AB 6 , O 是 AB 的中点,直㓵 l 㔅䗽点 O , 1 120 ,P 是直㓵 l 上一点.当
△APB 为直fl三fl形时, AP .
大flⴤfi供
大flⴤfi供
如图,在平䶒ᯌ䀂坐ƒfi中,抛fl㓯 y
ax 2
bx c ( a 0 )与 x 䖤ᯌ交于 A , B 两A,
与 y 䖤ᯌ交于 A C ,ᯌ㓯 y
且 BC 5 kx n ( k 0 )㓿䗷 B , C 两A,已 ª
A(1, 0) , C(0, 3) , ( 1 )分别fiᯌ㓯
BC
和抛fl㓯
䀓fl式(关fi式);
( 2 )在抛fl㓯 对ƒ䖤上%否存在A P ,使得以 B , C , P 三A为亦A 三䀂形%ᯌ䀂三䀂形?存在,䈧fi出A P 坐 ƒ;@不 存在,䈧䈤ᯌ ⨶ $.
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大招 fi
- 等腰፳ ፳ 角三角形存在性
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 平行四边形存在性
fi
大招
大招 fi
- 平行四边形存在性
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
D 2
A D 1
D 3
大flⴤfi供
B
C
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
D 2
A
D 1
B
C
D 3
大flⴤfi供
如图,抛fl㓯 y 1 x 2 3 x 2 与 x 䖤交于 A A ,A B ,与 y 䖤交于 A C ,A D 与A
2 2
C 关于 x 䖤对 ƒ,A P % x 䖤上 一个动 A. 䇮 A P 坐 ƒ 为 m, 0
,䗷A P 作 x 䖤
垂㓯 l 交抛fl㓯 于A Q .
(1)
fiA A ,A B ,A C 坐 ƒ;
(2)
fiᯌ㓯 BD 䀓fl式;
(3)当A P 在㓯¼ OB 上䘀动 ,ᯌ㓯 l 交 BD 于A M ,ƒ探y m 为何值 ,四4 形 CQMD %平㹼四4形;
大flⴤfi供
大flⴤfi供
已ª抛fl㓯
y
1 x2
2
bx
c 与 y 䖤交于 A C ,与 x 䖤 两个交A分别为
A 4, 0
,
B 1, 0 . (1)fi抛fl㓯 䀓fl式;
(2)
已ªA E 在 x 䖤上 ,A F 在抛fl㓯上,% 否 存在以 A , C , E , F 为亦A 四
4形%平㹼四4形?@存在,䈧ᯌ接写出A E 坐ƒ;@不存在,䈧䈤ᯌ ⨶ $.
大flⴤfi供
y
C
A
O
B
x
大flⴤfi供
大招 fi
- 特殊平行四边形存在性
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 全等三角形存在性
fi
大招
大flⴤfi供
A A 1 A 2
B C B" C"
A 3 A 4
大flⴤfi供
大flⴤfi供
如图,在平䶒ᯌ䀂坐ƒfi中,抛fl㓯 y ax 2
bx 4 与 x 䖤 一个 交A 为
A 2, 0 ,
与 y 䖤 交 A为 C ,对 ƒ 䖤% x 3 ,对 ƒ 䖤与 x 䖤交于 A B .
(1)fi抛fl㓯 函 数$½ 式;
( 2 )@A D 在 x 䖤上,在抛fl㓯上%否存在A P ,使得 △ PBD ≌△ PBC
ᯌ接写出A P 坐 ƒ;@ 不存在,䈧䈤ᯌ ⨶ $.
?@存在,
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 相似三角形存在性
fi
大招
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
如图,在ᯌ䀂 形 ABCD 中, AD , ABC
90
, AB
8 , AD
3 , BC
4 ,
A P 为 AB 4上一动A,@△ PAD 与△ PBC 数 %(
)
A.1
个
B.2
个C.3 个 D.4 个
%ᯌ似三䀂形,则┑fl ᶑ 件 A P 个
C
D
A P B
大flⴤfi供
BC
大flⴤfi供
大flⴤfi供
大flⴤfi供
- 二次函数与将军饮马
fi
大招
大flⴤfi供
大 flⴤfi 供
大flⴤfi供
如图,抛fl㓯 y 1 x 2
2
bx c 与ᯌ㓯 y 1 x
3 分别ᯌ交于 A , B 两A,且fl抛fl㓯与 x
2
䖤 一个交 A为 C ,½ 接 AC , BC .已ª
(1)fi抛fl㓯 䀓fl式.
A 0, 3 , C 3, 0 .
( 2 )在抛fl㓯对 ƒ 䖤 l 上找 一A M ,使 MB
MC 值ᴰ大,并fi出䘉个ᴰ大值.
大flⴤfi供
大flⴤfi供
3
如图 1 ,已ª二ᯌ函数 y
mx 2
3mx 27 m
4
图 与 x 䖤交于 A , B 两A(A A 在A B
3
左侧),亦 A
D
和A
B 关于䗷 A
A ᯌ㓯 l
:
y
x
对ƒ.
3 2 ( 1 )fi A , B 两A 坐ƒ及二ᯌ函数䀓fl式.
( 2 )如图 2 ,作ᯌ㓯 AD ,䗷 A B 作 AD 平㹼㓯交ᯌ㓯 l 于A E ,@A P ᯌ㓯 AD 上
一动 A,A Q %ᯌ㓯 AE 上 一A.½接 DQ , QP , PE ,ƒfi DQ
QP
PE ᴰ小值;@不存在,䈧䈤ᯌ ⨶ $.
大flⴤfi供
3
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