函数的奇偶性、周期性、对称性
一、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义：函数 f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个 x 都满足
① f (x) f (x) 函数 f (x) 为偶函数；
② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数 f (x) 为奇函数.
2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称；反过来如果一个函数的图像
关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于 y 轴对称，该函数为偶函数.
3．函数奇偶性的性质
①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f (x) 0 ， x D ，其中定义域 D 是
关于原点对称的非空数集.
②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数 f (x) 在
区间 [a, b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间 [b, a] 上也是单调递增（减）；
③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数 f (x) 在
区间 [a, b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间 [b, a] 上也是单调递减（增）；
④任意定义在 R 上的函数 f (x) 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即
f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) .
2 2
二、函数的周期性
1．函数的周期性定义：对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得定义域内的每一
个 个 x 值，都满足 f (x T ) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这 个函数的周期，应注意 nT （ n Z 且 n 0 )也是函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数 f (x) 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最
小的正数就叫做 f (x) 的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期，如 f (x) c （ c 为常数），任意一个实数 x 都是该函数的一个周期，却没有最小正周期.
三、函数的对称性
1．函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
2．中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180 ，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.
【必记结论】
1．奇函数 f (x) 若在 x 0 处有定义，则必有 f (0) 0 ，但若不能判断奇函数 f (x) 的定义
域中一定有 x 0 ，则不能使用 f (0) 0 ，求取参数的值.
2． 函数
f (x) 的定义域关于原点对称， 则函数 F (x) f (x) f (x) 为偶函数， 函数
F (x) f (x) f (x) 为奇函数.
3．几类函数的周期(约定 a 0 )问题：
① 若 函 数 f (x) 满 足 ：
f (x a) f (x a) 或 f (x a) f (x) 或
f (x a) k
f (x)
( f (x) 0, k 0) ， 或 f (x a) k
f (x) ( f (x) 0, k 0) ,或
f (x a) 1 f (x) 或 f (x a) f (x) b 等，则 f (x) 的周期 T 2a ；
1 f (x)
②若 y f (x) 的图象关于直线 x a , x b (a b) 对称，则函数 y f (x) 是周期为
2 a b 的周期函数；
③若 y f (x) 的图象关于 (a,0) 对称， 同时关于点 (b,0) 对称，（ b a ）， 则函数
y f (x) 是周期为 2 | b a | ；
④若 y f (x) 的图象关于 x a 对称， 同时关于点 (b,0) 对称，（ b a ）， 则函数
y f (x) 是周期为 4 | b a | .
4．函数 y f (x) 的图像的对称性
①函数 y f (x) 的图像关于直线 x a 对称 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .
②函数 y f (x) 的图像关于点 (a,0) 对称 f (x)
f (2a
x) f (a x) f (a x) .
③函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) ，则 y f (x) 的图像关于直线 x b a
2
对称.
④ 若函数 y f (x) 对定义域中任意 x 均有 f (a x) f (b x) c 0 ， 则函数 y f (x) 的图像关于点 ( a b , c ) 成中心对称图形.
2 2
5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题
①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.
③二次函数 f (x) ax 2 bx c(a 0) ：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 x b .
2a k ④反比例函数 y (k 0) ：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心， x y x 与 y x 均为它的对称轴.推广：函数 a (cx d ) b ad b ad
y ax b c c
a c c 2
，由函数图象的平移知识易知：函数 cx d cx d c x d c d
a
x 2 的对称中心为 (, ) .（思考：如何快速作出函数 y c c
2x 5 的图象？找对称中心， 化分母变量的系数为正，并将分母为零点时的自变量的值代入分子，看正负，从而快速画出图形.）
⑤函数 y a | x b | c 的图象关于直线 x b 对称.
b c ⑥函数 y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称轴为 x
a a b c ； 2 2a y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称中心为 ( b c , 0) .
2a
⑦函数 y x a (a 0) 是奇函数，图象关于原点 (0, 0) 对称.
x
⑧函数 y Asin( x ) k 、 y A cos( x ) k 的图象既是轴对称图形，也是中
心对称图形，它们的对称轴在函数取得最值（最大或最小）时取到，它们的对称中心是“平衡点”.
⑨三次函数 f (x) ax 3 bx 2 cx d (a 0) 的图象是中心对称图形，对称中心为 ( b
3a
, f ( b )) （二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标，在该点的函3a 数值是对称中心的纵坐标）.
⑩绝对值函数：这里主要说的是 y f (| x |) 和 y | f (x) | 两类.前者显然是偶函数，它会 关于 y 轴对称；后者是把 x 轴下方的图像对称到 x 轴的上方，是否仍然具备对称性， 这也没有一定的结论，例如 y ln x 就没有对称性，而 y | sin x | 却仍然是轴对称.
6．两个函数图像的对称性
①互为反函数的两个函数的图像关于直线 y x 对称.如指数函数 y a x 与对数函数
y log a x 的图象关于直线 y x 对称.
②函数 y f (a x) 与函数 y f (b x) 的图像关于直线 x b a
2
对称.
③函数 y f (a wx) 与函数 y f (b wx) 的图像关于直线 x b a
2w
对称.
【解题方法】
1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2．函数奇偶性的判断方法：
①定义法判断，步骤：1）求出函数的定义域；2）判断定义域是否关于原点对称；3）
根据定义域化简函数的解析式， 并求出 f (x) ； 4）
判断 f (x) f (x) 或 f (x) f (x) 是否对定义域内的每一个 x 恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反 例，若在函数 f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是偶函数，同 样，若在函数 f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是奇函数）；
【注意】
（1）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f (x) 与 f (x) 的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
（2）对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．
②函数的图像法判断（函数的图像是否关于原点对称；函数的图像是否关于 y 轴对称）；
③函数 f (x), g(x) 的公共定义域关于原点对称
1）若函数 f (x), g(x) 都为奇函数或都为偶函数，则函数 F (x) f (x)g(x) 为偶函数；
2）若函数 f (x), g(x) 其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数 F (x) 为奇函数；
f (x)g(x)
3）若函数 f (x), g(x) 都为奇函数，则函数 F (x) f (x) g(x) 为奇函数；
4）若函数 f (x), g(x) 都为偶函数，则函数 F (x) f (x) g(x) 为偶函数.
【注意】复合函数 y f [g(x)] 的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇.
3． 已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：
常采用待定系数法， 利用 f (x) f (x) 0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.
4．如果函数 f (x) 是偶函数，那么 f (x) f (| x |) ，通常在求解与偶函数、单调性有关的不
等式时，利用此公式进行转化所求解的不等式.
5．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．
6．对抽象函数的周期性、对称性问题的总结
①当括号里面 x 前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆.
②而当 x 前面的符号相同时告诉我们的是周期性.
③当 x 前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力.
7．证明一个函数 y f (x) 关于直线 x a 对称的步骤：①设函数 y f (x) 图像上的任意点 (x, y) ；②找到点 (x, y) 关于直线 x a 的对称点 (2a x, y) ；③设法证明点 (2a x, y) 也在函数 y f (x) 的图像上；④下结论.
8．证明一个函数 y f (x) 关于点 (a, b) 对称的步骤：①设函数 y f (x) 图像上的任意点 (x, y) ； ② 找到点 (x, y) 关于点 (a, b) 的对称点 (2a x, 2b y) ； ③ 设法证明点 (2a x, 2b y) 也在函数 y f (x) 的图像上；④下结论.
9．对于证明两个函数的图像关于直线 x a 对称或关于点 (a, b) 对称的方法参照一个函数的
证明方法进行即可.
10．已知定义在 R 上的周期函数 f (x) ，周期为 T ，函数 f (x) 的一个对称中心为 (a, b) 或对
T T 称轴为 x a ，则点 (k a, b) 必是函数 f (x) 的对称中心，直线 x k a 必是函 2 2 数 f (x) 的对称轴（每相邻两个对称中心之间相差半周期，每相邻两条对称轴之间相差
半周期，只要有有一个对称中心，根据周期就可求出所有的对称中心，只要知道一条对 称轴，就可以根据周期找出所有的对称轴，但是由对称中心及周期，却不能找出对称轴， 同样由对称轴及周期，也不能找到对称中心）.
11．若函数 y f (x) 有对称中心，则函数 y f (x) 的对称中心求解类型有：
①若函数 y 的横坐标；
②若函数 y 坐标；
f (x) 的定义域有对称中心，则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心
f (x) 的值域有对称中心，则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵
③ 若 函 数 y f (x) 的 定 义 域 与 值 域 都 是 R ， 则 设 对 称 中 心 为 (a, b) ， 由
f (a x) f (a x) 2b 确定参数 a, b 的值即可.
④上些具体函数的对称中心问题：三次函数的对称中心，可通过二阶导数为零求出，对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数，可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.
注：函数 y 1
1
1 的对称中心为 n , 0 .
x x 1 x n 2 【易错提醒】
1． 判断函数的奇偶性， 务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数
f (x) x 2 (x 1) ， 该函数是没有奇偶性， 但如果没有判断函数的定义域， 而直接
f (x) (x) 2 x 2 f (x) ，容易得出错误的结论：
f (x) x 2 (x 1) 是偶函数.
2．奇函数 f (x) 在 x 0 处可以没有定义，如 f (x) 定义，则 f (0) 0 .
1 ；但如果奇函数 f (x) 在 x 0 处有 x
3． 周期函数 f (x) 的定义域至少有一边是无界的.如：
命题“ 函数 f (x) sin x 在
[1000 ,1000 ] 是周期函数”是错误的；命题“函数 f (x) sin x 在 [0, ) 是最小正
周期为 2 的周期函数”是正确的，该函数没有负周期；命题“函数 f (x) sin x 在 (, 0] 是周期为 2 的周期函数”是正确的，但该函数却没有最小正周期.
4．有对称性（对称轴 x a ，对称中心 (a, b) ）的一个或两个函数的定义域必须关于 x a
对称.
5．在具体练习中，务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性，这两者是有区别的.如 函 数 y f (x) 满 足 f (2 x) f (4 x) ， 则 函 数 y f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x 2 4 3 对称；函数 y 2 x 2 4 1 对称.
2
f (2 x) 的图象与函数 y f (x 4) 的图象则关于直线
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