【精美排版】高考押题卷理B卷含解析

　年高考押题卷( ( 理B )B 卷含解析

　 2 2

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　 绝密 ★ 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（押题卷）

　注意事项：

　1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

　2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

　3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

　4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

　 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　（1）复数 i(2 i) - 在复平面内所对应的点的坐标为（

　）

　（A）

　( 1,2) -

　（B）

　(1,2)

　（C）

　(2, 1) -

　（D）

　(2,1)

　（2）函数2 2( ) sin cos f x x x   的最小正周期是（

　）

　（A）2 （B）

　

　（C）32 （D）

　2

　（3）某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4 本不同的名著中选出 3 本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必选．则 不同的分配方法共有（

　）

　（A）6 种 （ B ）

　12 种

　（C）18 种 （D）24 种 （4）设等比数列 { }na 的公比 2 q  ，前n项和为nS ， 则42Sa （

　）

　（C）152 （D）

　（A）2 （ B ）

　4要求输出这三个数 （5）右面的程序框图，如果输入三个实数 , , a b c ，中最大的数，那么在空白的判断框中， 应该填入下面四个选项中的 开始输入 a, b, cx = ab > xx = bx = c输出 x结束是否是否

　（A）

　c x 

　（B）

　x c 

　（C）

　c b 

　（D）

　b c 

　 （6）“ 0 a  ”是“22 2 aa  ”的（

　）

　（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

　 （C）充分必要条件

　 （D）既不充分也不必要条件

　（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥体积为（

　）

　（A）13

　 （B）12

　（C）

　1

　 （D）32

　（8）双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的渐近线为等边三角形 OAB 的边 , OA OB 所在直线，直线 AB 过双曲线的焦点，且 | | 2 AB  ，则 a  （

　 ）．

　（A）

　2

　（B）12 （C）

　1

　（D）32

　（9）如图，在矩形 ABCD 中， 2, 2 AB BC   ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD

　上，若2 AB AF  ，则 AE BF的值是（

　）

　（A）

　2 2 

　（B）1

　（C）

　2

　（D）2

　 （10）由直线1, 22x x   ，曲线1yx 及 x 轴所围图形的面积为（

　）

　（A）154 （B）174 （C）1ln22 （D）2ln2

　（11）已知点 P 在抛物线24 y x  上，那么点 P 到点 (2, 1) Q  的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（

　）

　（A）1( , 1)4

　（B）1( ,1)4

　（C）

　(1,2)

　 （D）

　(1, 2) 

　（12）设函数 ( ) f x ¢ 是奇函数 ( )( ) f x xR 的导函数， ( 1) 0 f   ，当 0 x 时， ( ) ( ) 0 xf x f x   ¢ ，则使得 ( ) 0 f x 成立的 x 的取值范围是（

　）

　（A）

　( , 1) (0,1)   ¥ U

　（B）

　( 1,0) (1, )  ¥

　（C）

　( , 1) ( 1, 0)    ¥ U

　（D）

　(0,1) (1, ) ¥ U

　 第Ⅱ卷

　本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答。

　二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。

　（13）设等比数列 { }na 的前 n 项和为nS ．若13 a  ，29 S  ，则na  ____；nS  ____．

　（14）已知双曲线2 221( 0)20x yaa   的一条渐近线方程为2 y x  ，则该双曲线的焦距 D D

　E E

　F F

　C C

　B B

　A A

　为_________. （15）在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，点 , D E 分别是边 , AB BC 的中点，连接 DE

　 并延长到点 F ，使得 2 DE EF  . 设 AF xAB yAC   ，则 x y  

　 ；

　AF BC  

　 . （16）已知实数 , , u v , x y 满足2 21 u v   ，1 0,2 2 0,2,x yx yx     则 z ux vy   的最大值是______.

　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

　（17）（本小题满分 12 分）

　在ABC 中， 2 c a  ， 120 B  ，且ABC 面积为32. （Ⅰ）求 b 的值； （Ⅱ）求 tanA 的值.

　（18）（本小题满分12分）

　如图，已知点 P 在正方体 ABCD ABCD      的对角线BD上， 60 PDA    .

　（Ⅰ）求 DP 与CC所成角的大小； （Ⅱ）求 DP 与平面 AADD   所成角的大小.

　 （19）（本小题满分12分）

　A，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X 1 和 X 2 . 根据市场分析，X 1 和 X 2 的分布列分别为 15% 10%0.8 0.2XP

　 22% 8% 12%0.2 0.5 0.3XP A C B B BA AC CD DD P

　（Ⅰ）在 A，B 两个项目上各投资 100 万元，Y 1 和 Y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差DY 1 ，DY 2 ； （Ⅱ）将 (0 100) x x ≤ ≤ 万元投资 A 项目， 100 x  万元投资 B 项目, ( ) f x 表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求 ( ) f x 的最小值，并指出 x 为何值时， ( ) f x 取到最小值. （注：2( ) D aX b a DX   ）

　（20）（本小题满分12分）

　已知直线 : l x t  与椭圆2 2: 14 2x yC   相交于 A ， B 两点， M 是椭圆 C 上一点． （Ⅰ）当 1 t  时，求△ MAB 面积的最大值； （Ⅱ）设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E ， F ， O 为原点． 证明：

　| | | | OE OF 

　为定值．

　（21）（本小题满分 12 分）

　设函数1( ) f x axx b ( , ) a bZ ，曲线 ( ) y f x  在点 (2, (2)) f 处的切线方程为 3 y  . （Ⅰ）求 ( ) f x 的解析式； （Ⅱ）证明：函数 ( ) y f x  的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线 ( ) y f x  上任一点的切线与直线 1 x  和直线 y x  所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

　请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

　（22）（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1 sin ,x a ty a t  （ t 为参数， 0 a ）. 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线24cos C    ：

　. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0   ，其中0 满足0tan 2   ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .

　（23）（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲

　已知函数 ( ) |2 | f x x a a    . （Ⅰ）当 2 a 时，求不等式 ( ) 6 f x ≤ 的解集； （Ⅱ）设函数 ( ) |2 1| g x x   . 当 xR 时， ( ) ( ) 3 f x g x  ≥ ，求 a 的取值范围.

　绝密 ★ 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（押题卷）试题参考答案和评分参考

　评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数. 选择题不给中间分.

　一．选择题 （1）B

　（2）B

　（3）C

　（4）C

　（5）A

　（6）C （7）B

　（8）D

　（9）C

　（10）D

　（11）A

　（12）A 二．填空题 （13）13 2 n  ； 3 (2 1)n 

　（14）10

　 （15）45，81 （16）

　2 2

　 三．解答题 （17）解：（Ⅰ）由ABC 面积公式及题设得 1sin2S ac B  1 3 322 2 2a a    ，

　解得 1, 2, a c  

　 由余弦定理及题设可得 2 2 22 cos b a c ac B   11 4 2 1 2 ( ) 72        ，

　又 0, 7 b b    .

　(不写 b>0 不扣分)

　（Ⅱ）在ABC 中，由正弦定理sin sina bA B 得：

　1 3 21sin sin2 14 7aA Bb    ， 又 120 B  ，所以 A 是锐角（或：因为 1 2, a c    ）

　所以2175 5 7cos 1 sin196 14A A     ， 所以sin 21 3tan .cos 5 5 7AAA  

　 （18）解：

　如图，以 D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系 D xyz  . 则 (1, 0, 0), (0, 0, 1). DACC 

　连结 , BD BD   .

　在平面 BBDD   中，延长 DP 交 BD   于 H. 设 ( , ,1) ( 0), DH m m m  

　由已知 , 60 DH DA   〈 〉 , 由 | || |cos , DA DH DA DH DH DA   〈 〉

　可得22 2 1 m m   . 解得22m  ，所以2 2( , ,1)2 2DH  .

　……4 分 （Ⅰ）因为 cos , DH CC 〈 〉2 20 0 1 122 22 1 2     ， 所以 , 45 DH CC   〈 〉 ， 即 DP 与CC所成的角为 45°.

　……8 分 （Ⅱ）平面 AADD   的一个法向量是 (0,1,0) DC  . A C B B BA AC CD DD P H x z zy y

　因为 cos , DH DC 〈 〉2 20 1 1 012 22 1 2     ， 所以 , 60 DH DC   〈 〉 ， 可得 DP 与平面 AADD   所成的角为 30°.

　 ……12 分

　（19）解：

　（Ⅰ）由题设可知 Y 1 和 Y 2 的分布列分别为 15 100.8 0.2YP

　 22 8 120.2 0.5 0.3YP 15 0.8 10 0.2 6 EY      ， 2 21(5 6) 0.8 (10 6) 0.2 4 DY        .

　……4 分 22 0.2 8 0.5 12 0.3 8 EY        ， 2 2 22(2 8) 0.2 (8 8) 0.5 (12 8) 0.3 12 DY           .

　 ……8 分 （Ⅱ）1 2100( )100 100x xf x D Y D Y            2 21 2100100 100x xDY DY            2 2243(100 )100x x      

　2 224(4 600 3 100 )100x x     ,

　 ……10 分 当600752 4x  时， ( ) 3 f x  为最小值.

　 ……12 分

　（20）解：（Ⅰ）将 1 x  代入2 214 2x y  ，

　解得 62y   ，

　所以 | | 6 AB  ．

　[ 2 分]

　当 M 为椭圆 C 的顶点   2,0  时， M 到直线 1 x  的距离取得最大值 3 ， 所以 △ MAB 面积的最大值是3 62．

　 [ 3 分]

　（Ⅱ）设 , A B 两点坐标分别为   , A t n ，   , B t n  ，从而 2 22 4 t n   ．

　设  0 0, M x y ，则有2 20 02 4 x y   ，0x t  ，0y n   ．

　 [

　5 分] 直线 MA 的方程为 00( )y ny n x tx t  ，

　令 0 y  ，得0 00ty nxxy n，从而 0 00ty nxOEy n．

　[ 8 分] 直线 MB 的方程为00( )y ny n x tx t  ，

　 令 0 y  ，得0 00ty nxxy n，从而 0 00ty nxOFy n．

　[10 分] 所以0 0 0 00 0=ty nx ty nxOE OFy n y n   2 2 2 20 02 20=t y n xy n

　   2 2 2 20 02 204 2 4 2=n y n yy n  

　 [11 分] 2 202 204 4=y ny n = 4 ． 所以 OE OF  为定值．

　 [12 分] （21）解：

　（Ⅰ）21( ) ,( )f x ax b   于是212 3,

　 210,(2 )abab     解得1,1,ab   或 9,48 .3ab   因 , a bZ ，故1( )1f x xx .

　 ……4 分 （Ⅱ）证明：已知函数1 21, y x yx  都是奇函数.

　所以函数1( ) g x xx  也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形. 而1( ) 1 11f x xx   . 可知，函数 ( ) g x 的图像按向量 (1,1)  a 平移，即得到函数 ( ) f x 的图像，故函数 ( ) f x 的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形.

　 ……8 分 （Ⅲ）证明：在曲线上任取一点0 001( , )1x xx.

　由0201( ) 1( 1)f xx  知，过此点的切线方程为 20 0020 01 1[1 ]( )1 ( 1)x xy x xx x     . 令 1 x  得0011xyx，切线与直线 1 x  交点为001(1, )1xx. 令 y x  得02 1 y x   ，切线与直线 y x  交点为0 0(2 1, 2 1) x x   .

　直线 1 x  与直线 y x  的交点为 (1,1) . 从而所围三角形的面积为00 00 01 1 1 21 2 1 1 2 2 22 1 2 1xx xx x      . 所以，所围三角形的面积为定值 2.

　……12 分

　（22）解：

　（Ⅰ）消去参数 t 得到1C 的普通方程 2 2 2( 1) x y a    . 1C 是以 (0,1) 为圆心， a 为半径的圆.

　将 cos , sin x y       代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为 2 22 sin 1 0 a        .

　 ……5 分 （Ⅱ）曲线1C ，2C 的公共点的极坐标满足方程组 2 22 sin 1 0,4cos .a         若 0   ，由方程组得2 216cos 8sin cos 1 0 a        ，由已知 tan 2   ， 可得216cos 8sin cos 0      ，从而21 0 a   ，解得 1 a  （舍去）， 1 a  . 1 a  时，极点也为1C ，2C 的公共点，在3C 上.

　所以 1 a  .

　……10 分

　 （23）解：

　（Ⅰ）当 2 a 时， ( ) |2 2| 2 f x x    .

　解不等式 |2 2| 2 6 x  ≤ 得 1 3 x  ≤ ≤ . 因此 ( ) 6 f x ≤ 的解集为 { | 1 3} x x  ≤ ≤ .

　……5 分 （Ⅱ）当 xR 时， ( ) ( ) f x g x  |2 | |1 2 | x a a x     

　|2 1 2 | x a x a     ≥

　|1 | a a    ， 当12x  时等号成立，所以当 xR 时， ( ) ( ) 3 f x g x  ≥ 等价于 |1 | 3 a a   ≥ .

　 ①

　 ……7 分 当 1 a≤ 时，①等价于 1 3 a a   ≥ ，无解. 当 1 a  时，①等价于 1 3 a a   ≥ ，解得 2 a≥ . 所以 a 的取值范围是 [2, )  .

　 ……10 分