项目二斜导柱侧抽芯机构

　项目二

　斜导柱侧抽芯机构 一、教学目标 1．通过对塑料模中斜导柱抽芯机构的工作过程分析掌握力的基本概念、力的基本性质、力对点之矩、受力分析和力的平衡方程 2．会对斜导柱抽芯机构进行受力分析并计算塑件的脱模力和抽芯力 3．培养学生严谨的工作作风和分析问题、解决问题的能力 二、学习任务 1．分析斜导柱侧抽芯机构中侧型芯、导柱和滑块的受力 2．计算斜导柱侧抽芯机构的脱模力和抽芯力 模块一

　导柱的受力分析 一、教学目标 1．通过对塑料模中斜导柱抽芯机构的工作过程分析掌握力的基本概念、力的基本性质、力对点之矩和受力分析 2．会对斜导柱侧抽芯机构进行受力分析 3．培养学生严谨的工作作风和分析问题、解决问题的能力 二、学习任务 分析斜导柱侧抽芯机构（图 2-1）中侧型芯、导柱和滑块的受力。

　三、解决任务 （一）

　斜导柱侧抽芯机构的工作过程

　图 2-1 斜导柱分型抽芯原理图 1-楔紧块 2-定模座板

　3-斜导柱 4-销钉 5-侧型芯

　6-推管 7-动模板

　8-滑块 9-限位挡块 10-弹簧

　11-螺钉

　图 2-1 表示斜导柱分型抽芯机构工作原理。它具有结构简单，制造方便，安全可靠的特点，因而是最常用的一种结构形式，图中与模具开合方向成一定角度的斜导柱 3 固定在定模座上，滑块 8 可以在动模板7 的导滑槽内滑动，侧型芯 5 用销钉 4 固定在滑块 8 上，开模时，开模力通过斜导柱作用于滑块上，迫使

　滑块在动模导滑槽内向左滑动，直至斜导柱全部脱离滑块，即完成抽芯动作，制品由推出机构中的推管 6推离型芯，限位挡块 9、弹簧 10 及螺钉 11 组成滑块定位装置，使滑块保持抽芯后的最终位置，以确保再次合模时，斜导柱能顺利地插入滑块的斜导柱孔，使滑块回到成型时的位置。在注射成型时，滑块 8 受到型腔熔体压力的作用，有产生移位的可能，因此用楔紧块 l 来保证滑块在成型时的准确位置。

　（二）

　侧型芯的 受力分析

　当塑料制品收缩包紧侧型芯时，脱模的受力情况如图 2-2 所示，型芯有脱膜斜度。

　 F m —制品与侧型芯之间的摩擦力；

　F y —因制品收缩产生对侧型芯的正压力；

　 F —克服包紧力和摩擦力 F m 造成阻碍所需的脱膜力；

　 α —脱拔模斜度。

　塑料制品在冷凝收缩时，对侧型芯产生包紧力，抽芯机构所需的抽芯力，必须克服因包紧力所引起的抽芯阻力及抽芯机构机械滑动时的摩擦阻力，才能把活动型芯抽拔出来。对于不带通孔的壳体制品侧抽芯，抽拔时还需克服表面大气压造成的阻力。在抽拔过程中，开始抽拔的瞬时，使制品与侧型芯脱离所需的抽拔力称为起始抽芯力，以后为了使侧型芯抽到不妨碍制品推出的位置时，所需的抽拔力称为相继抽芯力，前者比后者大。因此计算抽芯力时应以起始抽芯力为准。

　（三）

　斜导柱的受力分析

　斜导柱常用的结构形式如图 2-3 所示。斜导柱在工作过程的受力情况可近似地简化为图 2-4a，其一端为固定端约束。在开模初，导柱与滑块全面结合，如不考虑斜导柱与滑块孔间的摩擦力，其受力图如图 2-4b所示。F ω 为滑块对导柱的正压力。

　a)

　b)

　（四）滑块的受力分析

　滑块在工作中受到抽芯所需的开模力、斜导柱的支承力和水平方向抽拔侧型芯时侧型芯对滑块的抽芯阻力的共同作用。

　F z —抽拔侧型芯所需要克服的抽芯阻力； F k —抽出侧型芯所需要的开模力； F′ ω —斜导柱对滑块的支承力（即：滑块对斜导柱正压力的反作用力）。

　图 2-5 滑块的受力 图 2-4 斜导柱的力学模型简图及受力

　图 2-3 斜导柱常用的结构形式

　图 2-2 脱模时型芯的受力

　四、相关知识 （一）力的概念

　1．力的定义 力的概念来自于实践，人们在劳动或日常生活中推、拉、提、举物体时，肌肉会收缩，进而人们逐渐产生了对力的感性认识，大量的感性认识经过科学的抽象，并加以概括，形成了力的概念。力是物体之间的相互机械作用。这种作用对物体产生两种效应，即引起物体机械运动状态的变化和使物体产生变形。前者称为力的外效应或运动效应，后者称为力的内效应或变形效应。如果我们所考察的是质点，作用于其上的力所产生的效应在于使其产生加速度。如果我们考察的是刚体，则作用于其上的力，有使刚体的移动状态和转动状态发生改变的效应，并分别称为力移动效应和转动效应。如果我们考察的是一个变形体，那么作用于其上的力所产生的还将有变形效应。

　力的作用离不开物体，因此谈到力时，必须指明相互作用的两个物体，并且要根据研究对象的不同来明确受力体和施力体。

　实践证明：力对物体的作用效应取决于力的大小、方向和作用点，这三个因素称为力的三要素。当三要素中有任何一个改变时，力的作用效应也将改变。力的方向包含方位和指向两个意思，如铅垂向下，水平向左等。作用点指的是力在物体上的作用位置。一般说来，力的作用位置并不是一个点而是一定的面积。但是，当作用面积小到可以不讲其大小时，就抽象成一个点，这个点就是力的作用点，而这种作用于一点的力则称为集中力。

　2．力的表示方法

　力是既然是一种有大小和方向的量，所以力是矢量（简称力矢）。

　（1）力的图示法

　常用一带箭头的线段表示。如图 2-6 所示。线段长度 AB 按一定比例尺表示力的大小；线段的方位和箭头的指向表示力的方向；线段的起点（或终点）表示力的作用点；与线段重合的直线称为力的作用线。

　（2）力的数学表示法 矢量用黑体字母表示，如 F F ；力的大小是标量，一般用字母表示，如 F 。

　 若力矢 F 在平面 Oxy 中，则其矢量表达式为 F ＝ Fx ＋ F y ＝ F x i ＋ F y j

　（2-1）

　式中 F x ， ，F y 分别表示力 F 沿平面直角坐标轴 x，y 方向上的两个分力；F x ，F y 分别表示力 F 在平面直角坐标轴 x、y 上的投影； i 、j 分别为力 F 在平面直角坐标轴 x、y 上的单位矢量。

　图 2-6 力的图示法

　（3）力 F F 在直角坐标轴 x ， y 上的投影

　过力矢 F F 两端向两坐标轴引垂线得垂足 a ， b 和 a

　′ b

　′ ，如图 2-7 所示。线段 ab 、a

　′ b

　′ 分别为力 F F 在 x 轴和 y 轴上的投影的大小。投影的正负号规定为：由起点a 到终点 b （或由起点 a

　′ 到终点 b

　′ ）的指向与坐标轴正向相同时为正，反之为负。

　图 2-7 中力 F 在 x 轴和 y 轴上的投影分别为 F x ＝Fcosα

　F y ＝－Fsinα

　 （2-2）

　 可见，力的投影是代数量。

　 若已知力的矢量表达式（2-1），则力 F 的大小及方向为

　 xyy xFFF F F  tan2 2

　（2-3）

　（二）

　静力学 公理

　人们经过长期的生活和生产实践的积累，建立了力的概念，并由此总结出了一些力的基本性质，因其正确性已经被实践反复证明，为大家所公认，所以也称静力学公理。

　1．性质一

　二力平衡公理 刚体上仅受两力作用而平衡的充分与必要条件是：此两力必须等值、反向、共线，即 F 1 ＝－F 2 ，如图2-8 所示。这一性质揭示了作用于刚体上最简单的力系平衡时所必须满足的条件。

　工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，我们将其称为二力构件。根据性质一可以判断，此二力构件上所受到的两个力的方向必沿这两力作用点的连线，且等值、反向。

　2．性质二

　加减平衡力系原理

　 对于作用在刚体上的任何一个力系，可以增加或去掉任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。

　推论 1 1（力的可传递性）作用于刚体上的某力可沿其作用线移动到该刚体上的任一点而不改变此力对刚体的作用效应。

　证明：设力 F 作用于刚体上的 A 点，如图 2-9a 所示； 在其作用线上任取一点 B，并在 B 点处添加一对平衡力 F 1 和 F 2 ，使 F、F 1 、F 2 共线，且 F 2 ＝－F 1＝F，如图 2-9b 所示； 根据性质二，将 F、F 1 所组成的平衡力去掉，刚体上剩下 F 2 ，且 F 2 ＝F，如图 2-9c 所示； 图 2-8

　二力平衡 图 2-7

　力的投影法

　由此得证。

　力的可传性说明：对刚体而言，力是滑动矢量。需要强调的是，此推论只适用于刚体而不适用于变形体。

　3．性质三

　力的平行四边形法则

　作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力的作用点也在该点，且合力的大小和方向可用两个力为邻边所作的平行四边形的对角线来确定。

　 该公理说明：力矢量可按平行四边形法则进行合成与分解，如图 2-10 所示，合力矢量 F R 与分力矢量F 1 ，F 2 间的关系符合矢量运算法则：

　F R ＝F 1 ＋F 2

　 （2-4）

　即合力等于两分力的矢量和。

　 在平面直角坐标系中如果 F R 的投影为 F Rx 、 、F Ry ；F 1 的投影为 F 1x 、 、F 1y ；F 2 的投影为 F 2x 、 、F 2y ，

　 则有

　 F Rx ＝F 1x ＋F 2x ，F Ry ＝F 1y ＋F 2y

　 （2-5）

　 由此可推广到 n 个力作用的情况。设一刚体上受力系 F 1 、F 2 、…、F n 作用，力系中各力的作用线共面且汇交于同一点（力系中各力的作用线共面且汇交于同一点的力系称为平面汇交力系），根据性质 3 和式（2-4）可将此力系合成为一个合力 F R ，且有 F R ＝F 1 ＋F 2 ＋…＋F n ＝ΣF

　（2-6）

　可见，平面汇交力系的合力矢量等于力系各分力的矢量和。

　 根据式（2-5）可得 F Rx ＝F 1x ＋F 2x ＋…＋ F nx ＝ΣF x

　 F Ry ＝F 1y ＋F 2y ＋…＋ F ny ＝ΣF y

　 （2-7）

　 式（2-7）称为合力投影定理，即力系的合力在某轴上的投影等于力系中各分力在同轴上投影的代数和。

　工程中常利用平行四边形定则将一力沿两个规定方向分解，使力的作用效应更加突出。例如，在进行直齿圆柱齿轮的受力分析时，常将作用于齿面的法向正压力 F n 分解为沿齿轮分度圆切线方向的分力 F t 和指向轴心的压力 F r ，如图 2-11 所示。F t 称为圆周力或切向力，作用是推动齿轮绕轴转动；F r 称为径向力，该力对支承齿轮的轴产生影响。

　论 推论 2 2

　三力平衡汇交定理

　 刚体受三个共面但互不平行的力作用而平衡时，三力必汇交于一点。

　证明：设刚体上 A 1 、A 2 、A 3 三点受共面且平衡的三力 F 1 、F 2 、F 3 作用，如图 2-12 所示，根据力的可传性将 F 1 、F 2 移到其作用线交点 B，并根据性质 3 将其合成为 F R ，则刚体上仅有 F 3 和 F R 作用。根据性质图 2-10

　力的平行四边形法则 图 2-9

　力的可传性

　1，F 3 和 F R 必在同一直线上，所以 F 3 一定通过 B 点，于是得证 F 1 、F 2 、F 3 共点。

　4．性质四

　作用与反作用定律 两物体间相互作用的力总是同时存在，并且两力等值、反向、共线，分别作用于两个物体。这两个力互为作用与反作用的关系。

　此定律概括了自然界中物体间相互作用的关系，表明一切力总是成对出现的，提示了力的存在形式和力在物体间的传递方式。

　（三）

　力对点之矩

　1．力矩的概念

　力不仅能使刚体产生移动效应，还能使刚体产生转动效应。如图 2-13 所示，用扳手转动螺母时，作用于扳手 A 点的力 F 可使扳手与螺母一起绕螺母中心点 O 转动。力的这种转动作用不仅与力的大小、方向有关，还与转动中心至力的作用线的垂直距离 d 有关。因此，定义 Fd 的乘积为力使物体对点 O 产生转动效应的度量，称为力对点 O 之矩，用 M O （F）表示，即

　 M O （F）＝±Fd

　 （2-8）

　式中 O 点称为力矩中心，简称矩心；d 称为力臂；乘积 Fd 称为力矩的大小；“±”表示力矩的转向，规定在平面问题中，逆时针转向取正号，顺时针转向取负号，故平面上力对点之矩为代数量。

　力矩的单位为 N·m 或 kN·m； 应注意：一般来说，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不指明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须标明矩心。

　2．力矩的性质

　1）力 F 对 O 点之矩不仅取决于 F 的大小，同时还与矩心的位置即力臂 d 有关。

　2）力 F 对于任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。

　3）力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零。

　显然，互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和等于零。

　3．合力矩定理

　 若力 F R 是平面汇交力系 F 1 、F 2 、…、F n 的合力，由于力 F R 与力系等效，则合力对任一点 O 之矩等于力系各分力对同一点之矩的代数和，即 M O (F R )＝M O (F 1 )＋M O (F 2 )＋…＋M O (F n )＝ΣM O (F)

　 (2-9) 式（2-9）称为合力矩定理。

　图 2-13

　扳手转动螺母 图 2-12

　三力平衡汇交 图 2-11

　直齿圆柱齿轮的受力

　例 2-1 如图 2-14 所示，数值相同的三个力按不同方式分别施加在同一扳手的 A 端。若 F=200N，试求三种情况下力对点 O 之矩。

　解

　图示三种情况下，虽然力的大小、作用点和矩心均相同，但力的作用线各异，致使力臂均不相同，因而三种情况下，力对 O 点之矩不同。根据式（2-8）可求出力对点 O 之矩分别为 1）图 2-14a 中 2）图 2-14b 中 3）图 2-14c 中

　 例 2-2

　作用于齿轮上的啮合力 F n =1000N，齿轮节圆直径 D＝160mm，压力角（啮合力与齿轮节圆切线的夹角）α＝20°，如图 2-15a 所示。求啮合力 F n 对轮心 O 点之矩。

　解法一

　用式（2-8）计算 F n 对点 O 之矩，即 解法二

　 用合力矩定理式（2-9）计算 F n 对点 O 之矩，

　如图 2-15（b）所示，将啮合力 F n 在齿轮啮合点处分解为圆周力 F t 和径向力 F r ，则 cost nF F   ，sinr nF F   ，由合力矩定理可得 （ 四 ）

　力偶

　1．力偶的概念 在生活和生产实践中，常见到某些物体同时受到大小相等、方向相反、作用线互相平行的两个力作用的情况。例如：司机用双手搬动方向盘（如图 2-16a）及钳工对丝锥的操作(如图 2-16b)等。

　一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系，称为力偶，记作（F，F ′ ）。物体上有两个或两个以上力偶作用时，这些力偶组成力偶系。

　a)

　 b) 图 2-15

　齿轮的受力 图 2-14

　 力对刚体的运动效应有两种：移动和转动。但力偶对刚体的作用效应仅仅是使其产生转动。力偶的两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的垂直距离称为力偶臂。力学中，用力偶的任一力的大小 F 与力偶臂 d 的乘积再冠以相应的正负号，作为力偶在作用面内使物体产生转动效应的度量，称为力偶矩，记作 M（F，F ′ ）或 M，即

　 M（F，F ′ ）＝M＝±Fd

　 (2-10) 式中，符号“±”表示力偶的转向，一般规定：力偶逆时针转向取正号，顺时针转向取负号。与力矩的“±”规定相同。

　 力偶矩的单位与力矩的单位相同，为 N·m 或 kN·m。

　力偶对刚体作用的转动效应取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶作用面的方位。凡三要素相同的力偶彼此等效。对于同一平面内的两个力偶，由于力偶作用平面的方位相同，力偶的效应只取决于力偶矩的大小和力偶的转向，因此，只要保证这两个要素不变，两个力偶就彼此等效。

　2．力偶的基本性质 性质 1

　力偶在任一轴上投影的代数和为零，故力偶无合力，如图 2-17 所示。力偶对刚体的移动不会产生任何影响，即力偶不能与一个力等效，也不能简化为一个力。

　 性质 2

　力偶对于其作用面内任意一点之矩与该矩心的位置无关，它恒等于力偶矩。如图 2-18 所示。

　只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在其作用面内任意移动，且可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变其作用效应。力偶可以用带箭头的弧线表示。如图 2-19 所示。

　（ 五 ）

　约束与约束力

　自然界中，运动的物体可分为两类：一类是自由体；一类是非自由体。例如空中的飞鸟、水中的游鱼、运行的炮弹等，它们的位置和运动没有受到任何的限制，这样的物体叫做自由体。如果物体的位置和运动受到某些限制，例如火车车轮受到铁轨的限制，它们只能沿铁轨运动；又如电机转子受轴承限制，只能作定轴转动；再如用绳索悬挂的重物，受绳索限制不能下落等。以上这些物体均称为非自由体。

　工程中的机器或者结构，总是由许多零部件组成的，这些零部件应按照一定的形式相互连接，因此它们的运动必然互相牵连和限制。如果从中取出一个物体作为研究对象，则它的运动当然会受到与其连接或接触的周围其他物体的限制。也就是说，它是一个运动受到限制或约束的物体，称为被约束体。

　图 2-19

　力偶的表示

　图2-18

　力偶矩 图 2-17

　力偶的投影 图 2-16

　力偶

　那些限制物体某些运动的条件，称为约束，这些限制条件总是由被约束体周围的其他物体构成的，这方便起见，构成约束的物体常称为约束。约束限制了物体本来可能产生的某种运动，故约束有力作用于被约束体，这种力称为约束力。

　限制被约束体运动的周围物体称为约束。约束力总是作用在被约束体的接触处，其方向也总是与该约束所能限制的运动或运动趋势的方向相反。据此，即可确定约束力的位置及其方向。

　1．光滑接触面约束 当两物体之间以点、线、面接触，并且接触面上的摩擦力很小可略去不计时，可认为是光滑接触面约束。此时，被约束的物体可以沿接触面滑动或沿接触面的公法线方向脱离，但不能沿公法线方向压入接触面。因此光滑接触面的约束力的作用线，沿接触面公法线方向，指向被约束的物体，恒为压力，故称为法向约束力，常用 F N 表示。如图 2-20 所示。

　图 2-5 中滑块的受力分析图中的 F ′ ω 即为这种约束形式。

　2．固定端约束 固定端约束是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。工程中的固定端约束是很常见的，例如：机床上装卡加工工件的卡盘对工件的约束（图 2-21a）；大型机器中立柱对横梁的约束（图 2-21b）；房屋建筑中墙壁对阳台横梁的约束（图 2-21c）等。

　a)

　 b)

　 c

　固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系，当外力为平面力系时，约束力所构成的这个分布力系也是平面力系，由于其中各个力的大小与方向均难以确定，因而可将该力系向A 点简化，得到的主矢用一对正交分解的力 F Ax 、F Ay 来表示，它们限制构件移动的约束作用，而将主矩用一个约束力偶 M A 来表示，它对构件起限制转动的作用（图 2-22）。

　（ 六 ）摩擦力

　两个互相接触的物体，当它们之间产生相对滑动或有相对滑动的趋势时，在接触面上就会出现阻碍彼此滑动的机械作用，这种机械作用就称为滑动摩擦力（简称摩擦力）。摩擦力作用在物体的接触表面上，其方向沿接触面的切线，并和物体滑动或滑动趋势方向相反（因为摩擦对物体的运动起阻碍作用，所以摩擦力的方向总是与物体滑动或滑动趋势方向相反）。

　图 2-22

　固定端约束力表示方法 图 2-21

　固定端约束 图 2-20

　光滑接触面约束

　（七 ）受力分析与受力图

　工程中，结构与机构都是十分复杂的，为了清楚地表达出某个物体的受力情况，必须将它从与其相联系的周围物体中分离出来。分离的过程就是解除约束的过程。在解除约束的地方用相应的约束力来代替约束的作用。被解除约束后的物体叫分离体。在分离体上画上物体所受的全部主动力和约束力，此图称为研究对象的受力图。整个过程就是对所研究的对象的受力分析。

　画受力分析图的基本步骤为 1）确定研究对象，取分离体； 2）在分离体上画出全部主动力； 3）在分离体上画出全部约束力。

　如研究对象为几个物体组成的物体系统，还必须区分外力和内力。物体系统以外的周围物体对系统的作用力称为系统的外力。系统内部各物体之间的相互作用力称为系统的内力。随着所取系统的范围不同，某些内力和外力也会相互转化。由于系统的内力总是成对出现的，因此当研究对象是物体系统时，只画作用于系统上的外力，不画系统的内力。

　五、拓展 知识 （一）

　平面力偶系的合成

　平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩等于各力偶矩的代数和。即

　M＝M 1 ＋M 2 ＋…＋M n ＝ΣM i

　(2-11)

　证明：如图 2-23a 所示，设在刚体某平面上作用力偶系 M 1 ，M 2 ，…，M n ，在力偶系作用面内任选两点A、B，连接 A、B，以 AB＝d 作为公共力偶臂，保持各力偶的力偶矩不变，将各力偶分别表示成作用在 A、B 两点的反向平行力，如图 2-23b 所示，则有

　 于是在 A、B 两点处各得一组共线力系，其合力分别为 F R 和 F

　′ R ，如图 2-23c 所示，且有 F R ＝ ＝F

　′ R =F 1 ＋ ＋F 2 ＋ …＋ ＋F n ＝ ＝ΣF

　 F R 和 F

　′ R 为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶，其合力偶矩为 （二）力的平移定理

　作用在物体上的力 F 可以平行移动到物体内任一点 O，但必须同时附加一个力偶，才能与原来力的作用等效。其附加力偶的力偶矩等于原力 F 对平移点 O 的力矩。这就是力的平移定理。如图 2-24 所示 证明：根据加减平衡力系公理，在任意点 O 加上一对与 F 等值的平衡力 F ′ 、F ′′ （图 2-24b），则 F 与F ′′ 为一对等值、反向、不共线的平行力，组成了一个力偶，其力偶矩等于原力 F 对 O 点的矩，即 图 2-23

　平面力偶系的合成

　a)

　b)

　 c)

　 于是作用在 A 点的力 F 就与作用于 O 点的平移力 F ′ 和附加力偶 M 的联合作用等效，如图 2-24c 所示。

　力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用：一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产生的转动作用。

　 以乒乓球削球为例（图 2-25），分析力 F 对球的作用效应，将力 F 平移至球心，得平移力 F ′ 与附加力偶，平移力 F ′ 决定球心的轨迹，而附加力偶则使球产生转动。

　再以直齿圆柱齿轮传动为例（图 2-26），圆周力 F 作用于转轴的齿轮上，为便于观察力 F 的作用效应，将力 F 平移至轴心 O 点，则有平移力 F ′ 作用于轴上，同时有附加力偶 M 使齿轮绕轴旋转。

　（三）常见的其它约束形式

　1．柔索约束 属于这类约束的有绳、链条和胶带等。柔索本身只能承受拉力，不能承受压力。其约束特点是：限制物体沿柔索伸长方向的运动，只能给物体提供拉力，用符号 F 或 F T 表示。如图 2-27 所示，起吊一减速箱箱盖，链条对箱盖的约束力作用在链条与箱盖的接触点上，方向沿着链条的中心线，其指向背离受力体。再如图 2-28 所示，当皮带绕过轮子时，常假想在柔索的直线部分处截开柔索，将与轮接触的柔索和轮子一起作为考察对象。这样处理就可不考虑柔索与轮子间的内力，这时作用于轮子的柔索拉力即沿轮缘的切线方向。

　 2．圆 柱形铰链约束 两个带有圆孔的物体，用光滑圆柱形销钉相连接，受约束的两个物体都只能绕销钉轴线转动，此时，销钉便对被连接的物体沿垂直于销钉轴线方向的移动形成约束，称为圆柱形铰链约束。一般根据被连接物体的形状、位置及作用，可分为以下几种形式。

　图 2-26

　齿轮传动受力 图 2-25

　乒乓球削球受力 图 2-24

　力的平移 图 2-28

　胶带的柔索约束 图 2-27

　链条的柔索约束

　（1）中间铰约束

　如图 2-29 所示，1、2 分别是两个带圆孔物体，将圆柱形销钉穿入物体 1 和 2 的圆孔中，便构成中间铰，通常用简图 2-29c 表示。

　 由于销与物体的圆孔表面都是光滑的，两者之间总有缝隙，产生局部接触，本质上属于光滑接触面约束，故销对物体的约束力应通过物体圆孔中心。但由于接触点很难确定。因此，中间铰链对物体的约束力特点是：作用线通过销钉中心，垂直于销钉轴线，方向不定。可表示为图 2-29d 中单个力 F R 和未知角 α 或两个正交力 F Rx 、F Ry 。F R 与 F Rx 、F Ry 为合力与分力的关系。

　 （2）固定铰链支座约束

　如图 2-30a 所示，将中间铰链结构中物体 1 换成支座，且与基础固定在一起，则构成固定铰链支座约束，符号如图 2-30b 所示。

　固定铰链支座的约束力特点与中间铰相同。

　（3）活动铰链支座约束

　将固定铰链支座底部安放若干滚子，并与支承面接触，则构成活动铰链支座，又称辊轴支座，如图 2-31a 所示。这类支座常见于桥梁、屋架等结构中，通常用简图 2-31b 表示。活动铰链支座只能限制构件沿支承面垂直方向移动，不能阻止构件沿支承面的运动或绕销钉轴线的转动。因此活动铰链支座的约束力通过销钉中心，垂直于支承面，或指向支承面，或背向支承面，如图 2-31c 所示。

　（4）二力杆约束

　不 计自重，两端均用铰链的方式与周围物体连接，且不受其它外力作用的杆件，称为二力构件，简称二力杆。

　根据二力平衡公理，二力杆的约束力必沿杆件两端铰链中心的连线，或指向二力杆，或背向二力杆。如图 2-32a 中的 AC 杆，图 2-32b 中的 DC 杆。

　例 2-3

　如图 2-33a 所示，绳 AB 悬挂一重为 G 的球。试画出球 C 的受力图（摩擦不计）。

　图 2-33

　球及其受力分析 解

　以球为研究对象，画出球的分离体图。

　在球心点 C 处标上主动力 G（重力）；在解除约束的点 B 处画上柔性约束力 F B ，在 D 点画上光滑接触面约束力 F ND ，如图 2-33b 所示。

　例 2-4

　如图 2-34a 所示为三铰拱结构简图。A、B 为固定铰支座，C 为连接左、右半拱的中间铰。若左半拱受到水平推力 T 的作用，拱重不计。试分别画出左、右半拱的受力图。

　解

　1）先取右半拱为研究对象，画出其分离体图。因其本身重量不计，它只在 B、C 两铰处各受一个图 2-30

　固定铰约束 图 2-29

　中间铰约束 图 2-31

　活动铰约束 图 2-32

　二力杆约束

　力作用而平衡，所以它是二力杆。因此可以确定约束力 F NB 、F NC 的作用线必沿连线 BC，而方向相反，如图 2-34b 所示。

　2）再取左半拱为研究对象，并画出其分离体。作用于其上的主动力有水平推力 T；此外，右半拱通过铰链 C 对左半拱所作用的力是 F ′ NC ，力 F ′ NC 与 F NC 互为作用力与反作用力，因此 F ′ NC 与 F NC 等值、反向、共线；固定铰链支座 A 处有 F Ax 与 F Ay 两个正交分解的约束力，指向暂任意假定，如图 2-34c 所示。

　例 2-5

　重力为 P 的 圆球放在板 AC 与墙壁 AB之间，如图2-35a 所示，设板 AC 重力不计，试画板与球的受力图。

　解

　先取小球为研究对象，画分离体。球上主动力 P，约束反力有 F ND 与 F NE ，均属于光滑约束的法向反力。如图 2-35b 所示。

　再以板 AC 为研究对象，画分离体 AC，板受 BC 绳的拉力 F T ，板对小球作用力 F NE 的反作用力 F ′ NE ，以 及 A 处 固 定 铰 链 的 一 对 正 交 分 解 的 约 束 力 F Ax 与 F Ay 。

　如 图 2-35c 所 示 。

　 例

　2-6 简易起重 机如图2-36a所示，梁ABC一端用铰链固定在墙上，另一端装有滑轮并用杆 CE 支撑，梁上 B 处固定一卷扬机 D，钢索经定滑轮 C 起吊重物 H。不计梁、杆滑轮的自重，试画出重物 H、杆 CE、滑轮 C、销 C、横梁 ABC、横梁与滑轮整体的受力图。

　解

　分别以重物 H、杆 CE、滑轮 C、销 C、横梁 ABC、横梁与滑轮整体为研究对象，解除各自的约束，画出分离体简图。

　对本题，应首先判断出 CE 杆为二力杆。其次，C 处是用销连接三个物体的中间铰链约束。对 CE 杆，画出约束力 F EC 和 F CE ，如图 2-36c 所示；重物受到重力 G 和拉力 F 作用，如图 2-36d 所示；滑轮上受柔索拉力 F 和 F ′ D 作用，受铰链销钉的约束力 F Cx2 、F Cy2 作用，如图 2-36f 所示；在横梁 ABC 上有固定铰链支座约束力 F Ax 、F ay ，重物通过钢索对卷扬机的拉力 F D ，C 处为铰链销钉的约束力 F Cx1 、F Cy1 ，如图 2-36b 所示；图 2-34

　三铰拱结构简图 图 2-35

　圆球及其受力分析

　对横梁与滑轮整体，除 F Ax 、F Ay 、F 外，尚有 C 处铰链销钉的约束力 F ′ CE ，如图 2-36e 所示；对于销钉 C，它分别受到横梁 ABC 的约束力 F ′ Cx1 、F ′ Cy1 ，二力杆 CE 的约束力 F ′ CE 以及滑轮的约束力 F ′ Cx2 和 F ′ Cy2 ，如图 2-36g 所示。

　模块二

　斜导柱抽芯力 的计算 一 、教学目标 1．通过对注塑模斜导柱侧抽芯机构进行受力分析，会列力的平衡方程 2．会根据要求计算力 3．培养学生严谨的工作作风和良好的协作精神 二、学习任务 计算斜导柱的抽芯力及脱膜力 三、解决任务 （一）

　计算抽芯力 F F z z

　 1．列力的平衡方程 根据图 2-2 制品抽芯脱模力的受力分析图可知 又因

　 ( sin )m yF F F    

　代入上式得 式中

　p—塑料制品收缩对型芯单位面积的正压力。制品在模内冷却时 p＝19.6MPa，制品在模外冷却时 p＝3.92MPa；当制品壁厚度较大，收缩率大，注射压力高，冷却时间长，且塑料质硬，取大值；反之，取小值。

　A —塑料制品包紧侧型芯的侧面积。

　α—脱模斜度 2．侧型芯导滑机构的摩擦力 F f

　 由于抽芯机构在抽动侧型芯过程中，导滑机构必然产生摩擦力，其值可按下式计算：

　 1 f kF F  

　 (2-12) 式中

　F k —抽出侧型芯所需要的开模力；见图 2-5 图 2-36

　简易起重机

　 μ 1 —导滑机构的摩擦系数，正常情况下取 0.1，有溢料或有杂质进人导滑槽时取 1.0。

　3．侧型芯在大气压力作用下的阻力 F q ，当成型不通侧孔时，还需要克服大气压力造成阻力 F q ，其值为：

　 10.1qF A 

　( 2-13) 式中

　F q —由于大气压力造成的抽芯阻力（N）；

　 A 1 —垂直于抽芯方向型芯的投影面积（mrn 2 ）。

　当型芯较小时，可将 F q 这项忽略。

　因此，要将侧型芯从塑料制品抽出，所需要的抽芯力 F z 应克服包紧力和摩擦力 F m 形成的脱膜阻力 F 与侧型芯导滑机构的摩擦力 F f 以及由于大气压力造成的抽芯阻力 F q 。即

　 z f qF F F F   

　( 2-14 ) （二）计算开模力

　斜导柱受到滑块的正压力 F ′ ω ，抽芯力 F z 和开模力 F k 之关的相互关系如图（2-5）所示（不考虑斜导柱与滑块孔间的摩擦力），由力平衡方程可得其关系式如下：

　将1 f kF f F  代入上式得：

　1" cosz k qF F F f F F    

　 （2-15）

　" sinkF F 

　 （2-16）

　由式（2-15）、（2-16）得1"cos sinqF FFf  式中 α —斜导柱斜角 当 α 值增大时，要获得相同的抽芯力，则斜导柱所受的滑块正压力（该力使导柱产生弯曲变形）要增大，同时所受的开模力也增大。

　四 、 相关 知识 工程上，许多力学问题与制品脱膜时受力情况一样，由于结构与受力具有平面对称性，都可以在对称平面内简化为平面问题来处理。若力系中各力的作用线在同一平面内，该力系称为平面力系。平面力系中的各力作用线可能任意分布，也可能汇交于一点，也可能相互平等。根据平面力系中各力的作用线分布不同可将平面力系分为平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系、平面任意力系。

　1）平面汇交力系。各力的作用线汇交于一点； 2）平面平行力系。各力的作用线相互平行；

　3）平面力偶系。仅由力偶组成；

　4）平面任意力系。各力的作用线在平面内任意分布。

　（一）平面任意力系的简化

　1．平面任意力系向一点简化 作用于刚体上的平面任意力系 F 1

　，F 2

　，F 3

　，…，F n

　，如图 2-45a 所示，在平面内任意取一点 O，称为简化中心。根据力的平移定理将力系中各力的作用线平移至 O 点，得到一汇交于 O 点的平面汇交力系F 1 ′ ′，F 2 ′，F 3 ′ ′，…，F n ′和一附加平面力偶系 M 1

　=M 0

　(F 1 ) ，M 2

　=M 0

　(F 2 ) ，M 3

　=M 0

　(F 3 )，…，M n =M 0

　(F n ) ，如图 2-45b 所示，按照式（2-6）和式（2-11）将平面汇交力系与平面力偶系分别合成，可得到一个力 F R ′与一个力偶 M o ，如图 2-45c 所示。

　 此共点力系 F 1 ′ ′ ，F 2 ′ ′ ，F 3 ′ ′，…，F n ′的矢量和为RF，显然，在一般情况下，RF不能代替原力系对物体的作用，故RF称为平面任意力系的主矢，主矢的计算式为

　 1 2" RnF F F F F     

　(2-17) 很明显，式（2-17）不会因为简化中心 O 点的不同而不同，所以主矢与简化中心的位置无关。式（2-17）在直角坐标系下的投影形式为：

　1 2" Ryy y ny yF F F F F     

　（2-18）

　根据平面力偶理论可知，附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为 所以

　 ( )o oM M F  

　（2-19）

　M o 称为原力系对简化中心 O 点的主矩。它等于原力系中各力对简化中心力矩的代数和，一般情况下主矩与简化中心的位置有关。

　综上所述，平面任意力系向平面内任一点 O 简化后，可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。

　2．简化结果分析 平面任意力系向一点简化，一般可得一个力（主矢）和一个力偶（主矩），但这并不是简化的最终结果。当主矢和主矩出现不同值时，简化最终结果将会是下表所列的情形。

　表 表 2-1 平面任意力系简化结果 主矢 主矩 简 化 结 果 意

　 义 图 2-45

　平面任意力系向一点简化

　F ′ R ≠0 M 0 ≠0 合力 F ′ R

　此时力系没有简化为最简单的形式，还可以根据力的平移定理，将 F ′ R 和 M 0 进一步合成为一个合力 F R 。F ′ R =F R = Σ F，其作用线至简化中心 O 点的垂直距离为 d=| M 0

　| /F ′ R

　(如图 2-46 所示，由力的平移定理逆定理得到) M 0 =0 合力 F R 原力系可简化为一个合力 F R ，F R 这个力就是原力系的合力，作用线通过简化中心 O 点 F ′ R

　=0 M 0 ≠0 合力偶 M 0

　  F M M0 0,主矩 M 0 与简化中心 O 点的位置无关 M 0 =0 力系平衡 平面任意力系平衡的必要和充分条件为 F ′ R

　=0

　M 0 =0

　例 2-7 水平梁 AB 受三角形分布载荷的作用如图 2-47 所示，分布载荷的最大集度为 g（N／m），梁长 l，试求分布载荷的合力大小和合力作用线的位置。

　解

　先求分布载荷的合力 F Q 。的大小，在距 A 端 x 处取微段 dx，作用在 dx 段内的分布载荷可近似地看成为均布载荷，其载荷集度为 q x ，由图中几何关系可知 q x ＝xq／l，在 dx 段内的载荷为 所以合力为 由上式可以看出，分布载荷的合力大小为分布载荷图形的面积。

　再求合力的作用线位置 x c ，由合力矩定理得 可解得 此结果表明分布载荷的合力作用线一定通过载荷图形的形心。

　( ( 二) )

　平面任意力系的平衡方程及其应用

　1．平面任意力系的平衡方程

　由表 2-1 中式得知，平面任意力系平衡的充分和必要条件为主矢与主矩同时为零，即 所以可得到平面任意力系的平衡方程的基本形式为

　 00( ) 0xyoFFM F

　 （2－20）

　式（2-20）简称为二投影一矩式。它表明平面任意力系平衡的解析充要条件为力系中各力在平面内两个任选坐标轴的每个轴上投影的代数和均等于零，各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。式（2-20）最多能够求得包括力的大小和方向在内的 3 个未知量。

　图 2-47

　水平梁 图 2-46

　力的平移定理应用

　2．平面任意力系平衡方程的其它形式

　平面任意力系平衡方程除了式（2-20）的基本形式外，还有其他两种形式：

　 （1）一投影两矩式平衡方程 0xF ，(或0yF )，( ) 0AM F  ，( ) 0BM F 

　（2－21）

　其中 AB 两点连线不能与投影轴 x（或 y）垂直 （2）三矩式平衡方程 ( ) 0AM F  ，( ) 0BM F  ，( ) 0CM F 

　(2－22) 其中 A、B、C 三点不共线。

　在应用平衡方程解平衡问题时，应注意以下几个问题：

　 1）为了使计算简化，一般应将矩心选在几个未知力的交点上，并尽可能使较多的力的作用线与投影轴垂直或平行。

　 2）计算力矩时，如果其力臂不易计算，而它的正交分力的力臂容易求得，则可以用合力矩定理计算。

　 3）解题前应先判断系统中的二力构件或二力杆。

　 4）在解具体问题时，应根据已知条件和便于解题的原则，选用平衡条件的一种形式。

　3．解题步骤与方法 1）确定研究对象画受力图

　应将已知和未知力共同作用的物体作为研究对象，取出分离体画受力图。

　2）选取投影坐标轴和矩心，列平衡方程

　列平衡方程前应先确定力的投影坐标轴和矩心的位置，然后列方程。若受力图上有两个未知力相互平行，可选垂直于此二力的直线为投影轴；若无两个未知力相互平行，则选两个未知力的交点为矩心；若有两正交未知力，则分别选取两未知力所在直线为投影坐标轴，选两个未知力的交点为矩心。恰当选取坐标轴和矩心，可使单个平衡方程中未知量的个数减少，便于求解。

　3）求解未知量，讨论结果

　将已知条件代入平衡方程中，联立方程求解未知量。必要时可对影响求解结果的因素进行讨论；还可以另选一不独立的平衡方程，对某一解答进行验算。

　例 2-8

　摇臂吊车如图 2-48a 所示，水平梁 AB 的 A 端以铰链连接于立柱 EF 上，D 端则通过两端铰接的拉杆 DC 与立柱相连。DC 延伸与 AB 梁相交于 B 点。已知梁重 G＝4kN，载荷重 Q＝12kN，梁长 l=6m，载荷离 A 端距离 x＝4m，α＝30°。试求拉杆的拉力和铰链 A 的约束力。

　图 2-48

　摇臂吊车

　解

　1）因为已知力、未知力汇集于 AB 梁，所以选取横梁 AB 为研究对象，画出 AB 梁的分离体受力图(图 2-48b)。

　2）选坐标轴，列平衡方程式并求解。

　本例中 A、B、C 三个点，各为两个未知力的汇交点。若取两个未知力的汇交点为矩心，可列出只含一个未知力的力矩方程。若将 A、B、C 三点作为矩心并加以比较，很明显，取 B 点为矩心列出力矩方程时，计算最为简单。所以，取 B 点为矩心列平衡方程：

　解得

　 N/ 2 (1 / ) [4/ 2 12(1 4/6)]kN=6kNAyF G Q x l      

　求出NAyF 值后，取 y 轴为投影轴，列出投影方程 解得

　 T( / 2 / )/sin (4/ 2 12 4/6)2kN 20kN F G Qx l       

　最后，只剩下一个未知量NAxF ，取 x 轴为投影轴，列出投影方程 解得

　 N T cos20cos 17.32kNAxF F     

　在解题过程中，若能灵活运用平衡方程的不同形式，将使计算过程得到最大程度的简化。

　解得

　 N/ 2 (1 / ) [4/ 2 12(1 4/6)]kN=6kNAyF G Q x l      

　解得

　 T( / 2 )/ sin (4 6/ 2 12 4)/(6 1/ 2)kN 20kN F Gl Qx l         

　本题如果采用三矩式求解，可分别取 A、B、C 为矩心，则有 由以上三式同样可解得：N T N6 , 20 , 17.32Ax AxF kN F kN F kN   

　例 2-9 箕斗重 G＝0kN，沿与水平成 α＝30°斜巷等速提升，箕斗重心的位置 C 如图 2-49a 所示。求钢绳的牵引力及箕斗对轨道的压力（不计阻力）。

　解

　1）取箕斗为研究对象，画出其受力图(图 2-49b)。

　2）选坐标轴，列平衡方程并求解未知量。

　解上述方程可求得 上面计算时就是利用了合力矩定理，将 C 点的重力 G 沿 x、y 方向分解成两个分力后再以 O 点为矩心取矩。

　根据作用与反作用公理，箕斗对轨道压力的大小，分别等于 F NA 与 F NB 的大小，方向与之相反。

　（三）平面汇交力系的平衡方程

　 在平面力系中，如果该平面所受各外力的作用线均汇交于一点，对于平面一般力系平衡方程（式图 2-49

　箕斗

　2-22），显然 ( ) 0O OM M F  ，于是得其平衡的必要且充分条件为：力系中各力在两个坐标轴上投影等于零。即 0yF

　(2－23) 式(2-23)称为平面汇交力系的平衡方程，最多可求解包括力的大小和方向在内的 2 个未知量。

　例 2-10 重 G＝20kN 的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮 B。如图 2-50a 所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC 支持，A、B、C 三点都是光滑铰链联接，滑轮 B 的大小可忽略不计，试求 AB 杆和 BC 杆所受的力。

　 解

　1）取滑轮 B 为研究对象。

　2）画受力图，如图 2-50b 所示。

　3）选取坐标轴（如图 2-50b），列平衡方程并求解。

　解得：

　N74.6kNBCF  

　这里，F NBC 为负值说明它的实际指向与原假设的方向相反，即 BC 杆实际上受压力作用。

　例 2-11 简易压榨机由两端铰接的杆 AB、BC 和压板 D 组成（图 2-51a），各构件的重量不计。已知 AB＝BC，杆的倾角为 α，B 点作用有铅垂压力 F P ，求水平压榨力 F N 。

　解

　1）先选取销钉 B 为研究对象。

　2）画销钉 B 的受力图如图 2-51b 所示。

　3）选定坐标轴，列方程并求解。

　可解得

　N N/(2sin )BC AB PF F F   

　4）再选取压板 D 为研究对象。

　5）画受力图如图 2-51c 所示。

　6）选取坐标轴，列方程并求解。

　因为

　 N NBC"BCF F 

　所以

　 N N N" cos cos ( cot )/ 2BC BC PF F F F      

　分析讨论：从N( cot )/ 2PF F   的关系式可以看出，影响水平压榨力的主要因素是铅垂压力 F P和杆的倾角 α。在同样的铅垂力 F P 作用下，α 愈小，则水平压榨力愈大。根据这个关系式，可以由需图 2-51

　简易压榨机 图 2-50 绞车装置

　要的 F N 来确定机构的参数 α 和作用的铅垂力 F P 。

　（ 四 ）

　考虑摩擦时的平衡问题

　按照接触物体之间可能会相对滑动或相对滚动，因此可以把摩擦分为滑动摩擦和滚动摩擦。本模块只考虑无润滑的静滑动摩擦的性质。

　滑动摩擦依据两接触面间的相对运动是否存在，可分为静滑动摩擦和动滑动摩擦两类。

　静滑动摩擦力：当两接触物体之间有滑动趋势时，物体接触表面产生的摩擦力，简称静摩擦力。

　动滑动摩擦力：当两接触物体之间发生相对滑动时，物体接触表面产生的摩擦力，简称为动摩擦力。

　为了研究滑动摩擦的规律，可做如图 2-52 的实验。通过实验得到如下结论：

　 1 ． 一般静止状态下的静摩擦力随主动力的变化而变化，它的大小由平衡方程确定，介于零和最大静摩擦力之间，即 2 ． 临界静止状态下的静摩擦力为最大静摩擦力，它的大小与接触面间的正压力 F N （法向约束力）成正比，即 N s FF  max

　（2-24）

　这就是静滑动摩擦定律。F max 称为最大静摩擦力；比例常数 μ s 称为静滑动摩擦因数，简称静摩擦因数，它的大小取决于相互接触物体表面的材料性质和表面状况。

　3 ． 当物体处于相对滑动状态时，在接触面上产生的滑动摩擦力 F d 的大小与接触面间的正压力F N 成正比，即 N dF F  

　 （2-25）

　上式即为动滑动摩擦定律。式中比例常数 μ 称为动滑动摩擦因数，与物体接触表面的材料性质和表面状况有关。一般地 μ s >μ ，这说明推动物体从静止开始滑动比较费力，一旦物体滑动起来后，要维持物体继续滑动就省力了。精度要求不高时，可视为 μ s ≈μ 。

　五 、拓展知识 （一）摩擦角与自锁

　1．摩擦角的概念

　 当考虑摩擦时，物体所受到的接触面的约束力包括法向反力 F N 和摩擦力 F 这两个分量。它们的图 2-53

　摩擦角

　 图 2-52

　滑动摩擦定律实验

　合力 F R 称为接触面对物体的全约束力，如图 2-53a 所示。全约束力 F R 与法向反力 F N 之间的夹角 α 将随着摩擦力 F 的增大而增大，当物体处于临界平衡状态时，即摩擦力 F 达到最大值 F max 时，全约束力与接触面公法线间的夹角 α 也达到最大值 φ m ， φ m 称为摩擦角。

　 由图 2-53b 可知：

　以N s FF  max代入得：

　sNmFF   maxtan

　(2-26)

　 上式表明，摩擦角的正切等于静滑动摩擦因数。摩擦角和摩擦因数同时都是表示材料表面性质的物理量。

　2．自锁

　 物体平衡时，静摩擦力总是小于或等于最大静摩擦力。因此全约束力与接触面法线间的夹角 α 也总是小于或等于摩擦角 φ m 。如图 2-54a 所示。也就是说 m    0

　 (2-27)

　 只有当物体处于临界平衡状态时，α 才能等于摩擦角 φ m ，所以摩擦角表明了物体平衡时全约束力作用线所处的几何范...