第八章 立体几何初步 8.5.3
平面与平面平行
一、基础巩固 1.已知平面 / / 平面 ，直线 m ，直线 n ，下列结论中不正确的是（
）
A． / / m
B． / / n
C． // m n
D． m 与 n 不相交 【答案】C 【详解】
根据面面平行的的定义和性质知: 平面 / / 平面 ，直线 m ，直线 n ，则 / / m ， / / n ， m与 n 不相交， 2.平面 与平面 平行的充分条件可以是（
）
A． 内有无穷多条直线都与 平行 B．直线 / / a ， / / a ，且直线 a 不在 内，也不在 内 C．直线 a ，直线 b ，且 / / a ， / / b
D． 内的任何一条直线都与 平行 【答案】D 【详解】
解：A 选项， 内有无穷多条直线都与 平行，并不能保证平面 内有两条相交直线与平面 平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故 A 错误； B 选项,直线 / / a ， / / a ，且直线 a 不在 内，也不在 内,直线 a 可以是平行平面 与平面 的相交直线，故不能保证平面 与平面 平行，故 B 错误； C 选项, 直线 a ，直线 b ，且/ / a ， / / b ,当直线 a b ∥ ，同样不能保证平面 与平面 平行，故 C 错误； D 选项, 内的任何一条直线都与 平行,则 内至少有两条相交直线与平面 平行，故平面 与平面
平行; 3.如图，在棱长为 1 的正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中， M ， N 分别是1 1AD ，1 1AB 的中点，过直线 BD 的平面 平面 AMN ，则平面 截该正方体所得截面的面积为（
）
A．2
B．98 C．3
D．62 【答案】B 【详解】
取1 1 1 1C D BC ， 的中点为 , P Q . 易知1 1// // MN BD BD ， AD/ /NP.AD NP ，所以四边形 ANPD 为平行四边形，所以 AN/ /DP . 又 BD 和 DP 为平面 DBQP 的两条相交直线，所以平面 DBQP/ / 平面 AMN ，即 DBQP 的面积即为所求. 由 PQ/ /DB ，1 2PQ2 2BD ，所以四边形 DBQP 为梯形，高为2221 2 3h 1 22 4 4 . 所以面积为：
1 92 8PQ BD h . 故选 B. 4.下列说法正确的是（
）
A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行 【答案】C 【详解】
A 错，由两条直线与同一条直线所成的角相等， 可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面； B 错， 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等， 则这两个平面可能平行或相交； C 正确，设 , l m //,m // ， 利用线面平行的性质定理，在平面 中存在直线 a // m ， 在平面 中存在直线 b // m ，所以可知 a // b ， 根据线面平行的判定定理，可得 b // ， 然后根据线面平行的性质定理可知 b // l ，所以 m // l ； D 错，两个平面可能平行，也可能相交. 5.设 , 是两个不同的平面， m 是直线且 m ， / / m ，若使 / / 成立，则需增加条件（
）
A． n 是直线且 n ，/ / n
B．, n m 是异面直线，/ / n
C．, n m 是相交直线且 n ，/ / n
D．, n m 是平行直线且 n ，/ / n
【答案】C 【详解】
要使 / / 成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行， , n m 是相交直线且 n ，/ / n ， m ， / / m ， 由平面和平面平行的判定定理可得 / / . 6.下列四个正方体图形中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， P 分别为其所在棱的中点，能得出 / / AB平面 MNP 的图形的序号是（
）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【详解】
对于①，连接 AC 如图所示，由于 / / , / / MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面 / / MNP 平面 ACB ，所以 / / AB 平面 MNP .
对于②，连接 BC 交 MP 于 D ，由于 N 是 AC 的中点， D 不是 BC 的中点，所以在平面 ABC 内 AB 与 DN相交，所以直线 AB 与平面 MNP 相交.
对于③，连接 CD ，则 / / AB CD ，而 CD 与 PN 相交，即 CD 与平面 PMN 相交，所以 AB 与平面 MNP 相交.
对于④，连接 CD ，则 / / / / AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知 / / AB 平面 MNP .
综上所述，能得出 / / AB 平面 MNP 的图形的序号是①④. 7．设 ， 是两个不重合的平面， l ， m 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确 ．．．的是（）
A．若 l ， l ，则 ∥
B．若 l ， m ，则 l m
C．若 l ， l ∥ ，则
D．若 l ， ，则 l ∥
【答案】D 【详解】
A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行； B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行； C.正确，因为平面 内存在直线 m ，使 // l m ，若 l ，则, m m ，则 ； D.不正确，有可能 l . 8．设 m ， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 m ， n ，则“ ∥ ”是“ m 且n ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】
m ， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 m ， n ，则“ ∥ ”得“ m 且 n ”， 根据面面平行的判定定理得“ m 且 n ”不能得“ ∥ ”，所以“ ∥ ”是“ m 且 n ”的充分不必要条件. 9.已知 a ， b , c
为三条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（
）
A．若 a b ∥ ， b ，则 a
B．若 a ， b ， a b ∥ ，则 ∥
C．若 ∥ ， a ，则 a ∥
D．若a ， b ，c ， a b ∥ ，则 b c ∥
【答案】D 【详解】
A, 若 a b ∥ ， b ,则 a 或 a ，故 A 不正确. B, 若 a ， b ， a b ∥ ，则 ∥ 或 与 相交，故 B 不正确. C，若 ∥ ， a ，则 a ∥ 或 a ，故 C 不正确. D,如图，由 a b ∥ 可得 b ，易证 bc ∥ ，故 D 正确.
10.如图，四棱锥 S ABCD 中，底面是边长为2 的正方形 ABCD，AC 与 BD 的交点为 O， SO 平面 ABCD且2 SO ，E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上运动，并且总保持 PE AC ，则动点 P 的轨迹的周长为(
)
A． 2 2
B． 2 3
C． 12 D． 13 【答案】D 【详解】
解：分别取 CD、SC 的中点 F、G，连接 EF、FG 和 EG，如图所示；
则 EF∥BD，EF⊄平面 BDS，BD ⊂平面 BDS ∴EF∥平面 BDS 同理 FG∥平面 BDS 又 EF∩FG＝F，EF ⊂平面 EFG，FG ⊂平面 EFG，， ∴平面 EFG∥平面 BDS， 由 AC⊥BD，AC⊥SO，且 AC∩SO＝O， 则 AC⊥平面 BDS， ∴AC⊥平面 EFG， ∴点 P 在△EFG 的三条边上； 又 EF＝12BD＝12×2 × 2 ＝1， FG＝EG＝12SB＝12×2 2( 2) 1 ＝32， ∴△EFG 的周长为 EF+2FG＝1+3 . 11.设 ， 表示两个不同平面， m 表示一条直线，下列命题正确的是（
）
A．若 / / m ，/ / ，则 / / m . B．若 / / m ，/ / m ，则 / / . C．若 m ， / / ，则 / / m . D．若 m ， / / m ，则 / / . 【答案】C 【详解】
若 / / m ， / / ，则 / / m 或
m ， A 不正确； 若 / / m ， / / m ，则 / / ，或 、 相交， B 不正确； 若 m ， / / ，可得 m、 没有公共点，即 / / m ， C 正确；
若 m ， / / m ，则 / / 或 、 相交， D 不正确,故选 C. 12．设 , a b 是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，则 / / 的一个充分条件是（
）
A．存在两条异面直线 , a b ， , , / / , / / a b ab . B．存在一条直线 a ， / / , / / a a . C．存在一条直线 a ， , / / a a a . D．存在两条平行直线 , a b ， , , / / , / / a b a b a . 【答案】A 【详解】
对于 A 选项，如图：
, a b 为异面直线，且 , , / / , / / a b a b ，在 内过 b 上一点作 / / c a ，则 内有两相交直线平行于 ，则有 / / ；故 A 正确；
对于 B 选项，若 / / , / / a a ，则 a 可能平行于 与 的交线，因此 与 可能平行，也可能相交，故B 错； 对于 C 选项，若 , / / a a a ，则 与 可能平行，也可能相交，故 C 错； 对于 D 选项，若 , , / / , / / a b a b a ，则 与 可能平行，也可能相交，故 D 错. 二、拓展提升 13.如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC 中， D 、 P 分别是棱 AB ，1 1AB 的中点，求证：
（1）1AC ∥ 平面1BCD ； （2）平面1APC 平面1BCD ． 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【详解】
证明：（1）设1BC 与1BC 的交点为 O ，连结 OD ， ∵四边形1 1BCC B 为平行四边形，∴ O 为1BC 中点， 又 D 是 AB 的中点，∴ OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC ， 又∵1AC 平面1BCD ， OD 平面1BCD ， ∴1AC ∥ 平面1BCD ； （2）∵ P 为线段1 1AB 的中点，点 D 是 AB 的中点， ∴1AD BP 且1AD BP ，则四边形1ADBP 为平行四边形， ∴1AP DB ， 又∵ AP 平面1BCD ，1DB 平面1BCD ， ∴ AP∥ 平面1BCD ． 又1AC ∥ 平面1BCD ，1AC AP P ，且1AC 平面1APC ， AP 平面1APC ， ∴平面1APC 平面1BCD ．
14．如图所示，在正方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F，G，H 分别是 BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，A 1 A 的中点．求证：
(1)BF∥HD 1 ； (2)EG∥平面 BB 1 D 1 D； (3)平面 BDF∥平面 B 1 D 1 H. 【答案】(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析. （1）取 BB 1 的中点 M，连接 HM、MC 1 ，四边则 HMC 1 D 1 是平行四边形，∴HD 1 ∥MC 1 ． 又∵MC 1 ∥BF，∴BF∥HD 1 ． （2）取 BD 的中点 O，连接 EO、D 1 O，则 OE∥1DC ，OE＝112DC ．又 D 1 G∥DC，D 1 G＝12DC， ∴OE∥D 1 G，OE＝D 1 G，∴四边形 OEGD 1 是平行四边形，∴GE∥D 1 O． 又 D 1 O⊂平面 BB 1 D 1 D，∴EG∥平面 BB 1 D 1 D． （3）由（1）知 D 1 H∥BF，又 BD∥B 1 D 1 ，B 1 D 1 、HD 1 ⊂平面 HB 1 D 1 ，BF、BD⊂平面 BDF，且 B 1 D 1 ∩HD 1＝D 1 ，DB∩BF＝B，∴平面 BDF∥平面 B 1 D 1 H．
15.如图所示，在三棱柱1 1 1ABC ABC 中， E F G H ， ， ， 分别是1 1 1 1AB AC AB AC ， ， ， 的中点，
求证：（1）
B C H G ， ， ， 四点共面；
（2）平面1EFA// 平面 BCHG ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】
(1) G H ， 分别是1 1 1 1AB AC ， 的中点， GH 是1 1 1ABC △的中位线， 则1 1/ / GH BC ， 又1 1 //// BC BC GH BC ， ， B C H G ， ， ， 四点共面． (2) E F ， 分别为 AB AC ， 的中点， / / EF BC ， EF 平面 BCHG BC ， 平面 BCHG ， EF 平面 BCHG ， 又 G E ， 分别是1 1AB AB ， 的中点，1 1AB AB ， 1AG EB ， 四边形1AEBG 是平行四边形，1/ / AE GB ， 1AE 平面 BCHG GB ， 平面 BCHG ， 1/ / AE 平面 BCHG ， 又1AE EF E ＝ ， 平面1EFA// 平面 BCHG ，
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