相似三角形的判定基础及培优一 1、相似三角形的基本概念：
1. 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2. 相似比相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
△ ABC ∽△ A′ B′ C′ ,如果 BC=3, B ′C′ =2,那么△ A′B ′ C′与 △ ABC 的相似比为 _ B 2、相似三角形的判定及其书写格式：
A A"
B" C" C 1、相似三角形的预备定理：
如果一条直线平行于三角形的一条边， 且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
2、判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似。
3、判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
4、判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似。
5、直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。注意：第 6 个定理只适用于直角三角形相似的判定， 第 1 个相似三角形的定义因用起来较烦，因此平时不使用。
A 预备定理的基本图形（ A 型、 X 型）
简称为：平行出相似 ∵ ∴△ ABC ∽ △ ADE
A （ 3)
B C A
A"
B" C" ∵ ∴△ ABC ∽△ A′ B′ C′ (判定 1）
简称为：
AA 型 ∵ ∴△ ABC ∽△ A′B′ C′ (判定 2）
简称为：
SAS 型 （ 4）
A"
C" C B
3、射影定理 ∵ ∴△ ABC ∽△ A′ B′ C′ (判定 3）
简称为：
SSS 型 ∵ ∴ Rt△ ABC ∽ Rt△ A′B ′C′ B" ( 直角三角形相似的判定定理：
）简称为：
HL 型 AD 2 =B D· CD AB 2 =BD· BC AC 2 =CD· BC 特殊图形（双垂直模型）
∵∠ BAC=90 ° AD BC ∴ ADC ∽ BDA∽ BAC B D C 4、基本图形 A A A
（1）
小结：此类图形为基本图形：
D E D
A 型或母子型 D
E
B C B B 图1 图2 C
图3 C
A
" 0 " " " " " A B 0 0 A （ 2）
B A" B" C
C" 小结：此类图形为基本图形 ：
X 型或蝶形
E D
E" D"
小结：此类图开为基本图形 ：
旋转型
5、巩固练习：
1、判断 ①所有的等腰三角形都相似．
（
）
②所有的直角三角形都相似． （ ）
③所有的等边三角形都相似． （ ）
④所有的等腰直角三角形都相似． （ ) 2、如图，已知 ADE B ，则 AED ∽ _ ，理由是
3、如图 ,在 R t
ABC 中,
C 900 , DE AB 于 D, 则 ADE ∽
4、如图 ,在 B C ,则 ∽ ， ∽
5 、 R t ABC ∽ R t A" B" C " , C C 90 ,
若 AB=3,BC=2, A B 6 , 则
B" C "
, A" C "
6 、在 ABC 与 A" B " C " 中 , 若 B B , AB 6, BC 8, B C 4 , 则当 " "
时 ,
ABC ∽ A " B "C " .当
A" B "
时, ABC ∽ C " B " A " .
7 、 如 图 , 在 ABC 中 ,DE 不 平 行 于 BC, 当
AB=8,BC=7,AE=5, 则 DE=
. AB
时 , ABC ∽ AED , 若
AE
8、如图 ,在 R t ABC 中, ACB 90 ， AF=4 ， EF AC 交 AB 于 E， CD AB ，垂足为 D，若 CD=6 ， EF=3，则 ED=
,BC=
,AB=
9
、
如 图 , 点 D 在 ABC 内 , 连 接 BD 并
延 长 到 E, 连 接 AD 、 AE, 若 BAD AB BC 20 , AD DE AC , 则
AE EAC
10、下列各组图形必相似的是（ ）
0 A 、任意两个等腰三角形 B 、两条边之比为 2：
3 的两个直角三角形 C、两条边成比例的两个直角三角形 D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形11、如图所示，给出下列条件：
① B ACD ；② ADC ACB ；③ AC AB ；④
CD BC AC 2 ADgAB ． 其中单独能够判定 △ ABC ∽△ ACD 的个数为（ ）
A ． 1 B ．2 C． 3 D ．4
12、如图， AOD 90 0 , OA OB BC CD ，下列结论成立的是（ ）
A 、 OAB ∽ OCA B、 OAB ∽ ODA C、 BAC ∽ BDA D 、以上结论都不对 13、点 P 是 ABC 中 AB 边上一点，过点 P 作直线（不与直线
AB 重合）截 ABC ，使得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）
A 、2 条 B、3 条 C、4 条 D 、5 条 14、 ABC 中， D 是 AB 上的一点，在 AC 上取一点 E，使得以 A 、D、 E 为顶点的三角形与 ABC 相似，则这样的点的个数最多是（
）
A 、0 B、1 C、2 D、无数
15、如图，正方形 ABCD ， E 是 CD 的中点， FC= 1 BC ，下面得出六个结论：
4 （1）
ABF ∽ AEF ；（2）
ABF ∽ ECF ；（ 3）
ABF ∽ ADE ；（ 4）
AEF ∽ ECF ； （5）
AEF ∽ ADE ；（ 6）
ECF ∽ ADE ，其中正确的个数是（ ）
A 、1 个 B、3 个 C、4 个 D 、5 个 16、已知，如图， ABC 中， P 为 AB 上一点，在下列四个条件中：
（1）
ACP B ；（ 2）
APC ACB ；（ 3）
AC 2
AP AB ； （4）
AB CP AP CB ，能满足 APC 与 ACB 相似的条件是（ ）
A 、（ 1）、（ 2）、（ 4）
B、（ 1）、（3）、（ 4）
C、（ 2）、（ 3）、（ 4）
D 、（ 1）、（ 2）、（3）
17、如图，正方形 ABCD 的对角线 AB 、BD 相交于点 O，E 是 BC 的中点， DE 交 AC 于 F， 若 DE=12 ，则 EF 等于（ ）
A 、8 B、 6 C、 4 D、3 18、已知 ,如图 ,梯形 ABCD 中,AD ∥BC, ∠ A=90 0 ,对角线 BD ⊥ CD 求证 :(1) △ABD ∽△ DCB;(2)BD 2 =AD · BC
19、如图，以 DE 为轴，折叠等边 ABC ，顶点 A 正好落在 BC 边上 F 点， 求证：
DBF ∽ FCE
20、 ABC 中， AB=AC ， 求证：
ABC ∽ DAC BAC 108 ， D 是 BC 上一点，且 BD=BA ，
21、在等边 ABC 中， D 在 BC 上， E 在 CA 上， BD=CE ， AD 、BE 相交于 F。求证：（ 1）
ABD ∽ BFD ；（ 2）
AEF ∽ ADC 6、经典例题（提高）
：
0 2 2 一、如何证明三角形相似 例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则 △AGD ∽ ∽ 。
A
A 4
2 F 3 B E
D
D 1 C
G B C A D
B E F C
例 2、已知△ ABC
中， AB=AC ，∠ A=36 °， BD 是角平分线，求证：△ ABC ∽△ BCD
例 3：已知，如图， D为△ ABC内一点连结 ED、AD，以 BC为边在△ ABC外作∠ CBE=∠ ABD， ∠ BCE=∠ BAD 求证：△ DBE∽△ ABC
例 4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ， E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE 、AF、 AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例 5、△ ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取 BE ，使 AD=BE ，求证：DF ? AC=BC ? FE 例 6：
已知：如图，在△ ABC中，∠ BAC=90， M是 BC的中点， DM⊥ BC于点 E，交 BA的延长 线于点 D。求证：（ 1）
MA=MD ? ME；（ 2）
AE 2 ME AD MD
例 7：如图△ ABC中，AD为中线，CF 为任一直线， CF交 AD于 E，交 AB于 F，求证：AE：ED=2AF：
FB。
A D
A F D
A D 1 E G
F 2 E
E B K C B M C B C
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等 。
例 8：
已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD的边 AB和 AD上的点，且 EB
AB ∠ AEF=∠ FBD AF 1 。求证：
AD 3
例 9、平行四边形 ABCD ， AR 、 BR、CP、DP 为四角的平分线，求证：
SQ∥ AB ， RP∥ BC 例 10、已知 A 、C、 E 和 B 、F、 D 分别是∠ O 的两边上的点，且 AB ∥ ED， BC ∥ FE， 求证：
AF∥ CD 例 11、直角三角形 ABC 中，∠ ACB=90 °， BCDE 是正方形， AE 交 BC 于 F， FG∥ AC 交 AB 于 G，求证：
FC=FG
D
C
E R
C D A
C E 1
S Q A P O
F E F O 2 3 A B B F D A G B B D C
例 12、Rt△ ABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证：
AE=BF
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