{正文} 2018- -9 2019 学年江西省奉新县第一中学第一学期高二第一次月考
数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线 l与直线 3x+y+8=0 垂直，则直线 l 的斜率为（
）
A．﹣3 B．﹣31 C．3 D．31 2．若实数 a、b 满足条件 a＞b，则下列不等式一定成立的是（
）
A．a1＜b1 B．a 2 ＞b 2
C．ab＞b 2
D．a 3 ＞b 3
3．等差数列 na 中1 1 2 33, 21 a a a a ，则3 4 5a a a （
）
A．45 B．42 C．21 D．84 4．正方体 ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，异面直线 AC 与 C 1 D所成的角为（
）
A．6 B．3 C．4 D．2 5．若 x，y 满足 010xy xy x，则 z=x+2y 的最大值为（
）
A．0 B．1 C．23 D．2 6．《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如下图所示（网格纸上正方形的边长为 1），则该“堑堵”的表面积为（
）
A．8 B．16+8 2
C．16+16 2
D．24+16 2
7．已知数列 1，a 1 ，a 2 ，4 成等差数列，1，b 1 ，b 2 ，b 3 ，4 成等比数列，则21 2ba a 的值是（
）
A．21 B．﹣21 C．21或﹣21 D．41 8．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前 n项和分别为 A n 和 B n ，且nnBA=33 5nn，则55ba的值为（
）
A．2 B．27 C．4 D．5 9．在△ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tanA=21，B=6，b=1，则 a 等于（
）
A．55 2 B．1 C． 5
D．2 5
10．设 S n 为数列{a n }的前 n 项和，a 1 =1，S n =2S n ﹣ 1 +n﹣2（n≥2），则 a 2017 等于（
）
A．2 2016 ﹣1 B．2 2016 +1 C．2 2017 ﹣1 D．2 2017 +1 11．设定点 A（3，1），B是 x 轴上的动点，C 是直线 y=x 上的动点，则△ABC 周长的最小值是（
）
A． 5
B．2 5
C．3 5
D． 10
12．在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，A= ，且 bcosC=3ccosB，则 的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
13 在 ABC 中，若 sin :sin :sin 3:4:6 A B C ，则 cosB
． 14．已知 a＞0，b＞0，a+2b=3，则a2+b1的最小值为
． 15．过点 P（3，1）作直线 l 将圆 C：x 2 +y 2 ﹣4x﹣5=0 分成两部分，当这两部分面积之差最小时，直线 l 的方程是
．
16．如下图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为 DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与 EF平行；
②BD与 MN为异面直线； ③GH与 MN成 60°角；
④DE 与 MN垂直。
以上四个命题中，正确命题的序号是________． 三、解答题：本大题共 6 小题，17题 10 分，18~22题 12 分，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列{a n }满足 a 3 =3，前 6 项和为 21。
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若 b n =na3 ，求数列{b n }的前 n 项和 T n 。
18．已知圆 C 的圆心在直线 4x+y=0上，且与直线 x+y﹣1=0相切于点 P（3，﹣2）。
（1）求圆 C的方程； （2）过圆内一点 P（2，﹣3）的直线 l 与圆交于 A、B 两点，求弦长 AB 的最小值。
19．已知△ABC 的顶点 A（2，4），∠ABC 的角平分线 BM 所在的直线方程为 y=0，AC 边上的高 BH所在的直线方程为 2x+3y+12=0。
（1）求 AC所在的直线方程； （2）求顶点 C 的坐标。
20．如下图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E ， F ， G 分别为线段 BC ， PB ， AD 的中点。
（ 1 ）证明 EF∥ 平面 PAC ； （ 2 ）证明平面 PCG∥ 平面 AEF 。
（ 3 ）在线段 BD 上找一点 H ，使得 FH∥ 平面 PCG ，并说明理由． 21．已知△ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，且 csinA= 3 acosC． （1）求角 C的大小； （2）若 c=2，求△ABC 的面积的最大值。
22．已知等比数列{a n }满足 a 1 =2，a 2 =4（a 3 ﹣a 4 ），数列{b n }满足 b n =3﹣2log 2 a n ． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）令 c n =nnab，求数列{c n }的前 n 项和 S n ； （3）若 λ＞0，求对所有的正整数 n都有 2λ 2 ﹣kλ+2＞a 2n b n 成立的 k 的取值范围。
{答案} 2018- -9 2019 学年江西省奉新县第一中学第一学期高二第一次月考
数学试卷 参考答案
1．D
2．D
3．A
4．B
5．D
6．D
7．A
8．C
9．A
10．A
11．B
12．B 13．
14．
15． 0 4 y x
16．234 17．解：（1）∵等差数列{a n }满足 a 3 =3，前 6 项和为 21， ∴ ， 解得 a 1 =1，d=1， ∴a n =1+（n﹣1）×1=n． （2）b n =3a n =3 n ，
∴数列{b n }的前 n 项和：
T n =3+3 2 +3 3 +…+3 n
= =
18．解：（1）过切点且与 l：x+y﹣1=0 垂直的直线为 y=x﹣5，与 y=﹣4x联立可求得圆心为 C（1，﹣4）， ∴r==2
∴所求圆的方程为（x﹣1）
2 +（y+4）
2 =8； （2）当 CP⊥AB，即 P为 AB 中点时，弦长 AB 最小 CP= =
弦长 AB 的最小值为 2 =2
19．解：（1）∵AC 边上的高 BH所在的直线方程为 2x+3y+12=0， ，则 AC 所在直线的斜率为 ， ∵A（2，4）， ∴AC 所在直线方程为 y﹣4= ，即 3x﹣2y+2=0； （2）∵∠ABC的角平分线所在的直线方程为 y=0． 联立 ，解得 B（﹣6，0）． ∴AB 所在直线方程为 ，即 x﹣2y+6=0． 设 C（m，n），则 C 关于 y=0 的对称点为（m，﹣n）， 则 ，解得 m=﹣2，n=﹣2． ∴顶点 C 的坐标为（﹣2，﹣2）． 20．解：（ 1 ）证明：∵ E 、 F 分别是 BC ， BP 中点， ∴12EF PC∥， ∵ PC 平面 PAC ， EF 平面 PAC ， ∴ EF∥ 平面 PAC ． （ 2 ）证明：∵ E 、 G 分别是 BC 、 AD 中点，
∴ AE CG ∥ ， ∵ AE 平面 PCG ， CG 平面 PCG ， ∴ AE∥ 平面 PCG ， 又∵ EF PC ∥ ， PC 平面 PCG ， EF 平面 PCG ， ∴ EF∥ 平面 PCG ， AE EF E 点， AE ， EF 平面 AEF ， ∴平面 AEF∥ 平面 PEG ． （ 3 ）设 AE ， GC 与 BD 分别交于 M ， N 两点， 易知 F ， N 分别是 BP ， BM 中点， ∴12FN PM∥， ∵ PM 平面 PGC ， FN 平面 PGC ， ∴ FN∥ 平面 PGC ， 即 N 点为所找的 H 点． 21．解：（1）∵csinA= acosC， ∴由正弦定理，得 sinCsinA= sinAcosC 结合 sinA＞0，可得 sinC= cosC，得 tanC=
∵C 是三角形的内角， ∴C=60°； （2）∵c=2，C=60°， ∴由余弦定理可得：4=a 2 +b 2 ﹣ab≥2ab﹣ab=ab，当且仅当 a=b时等号成立， ∴S △ABC = absinC≤= ，当且仅当 a=b 时等号成立，即△ABC 的面积的最大值为 ． 22．解：（1）设等比数列{a n }的公比为 q， ∵a 1 =2，a 2 =4（a 3 ﹣a 4 ）， ∴a 2 =4a 2 （q﹣q 2 ），化为：4q 2 ﹣4q+1=0，解得 q= ． ∴a n =2=2 2﹣ n ． ∴b n =3﹣2log 2 a n =3﹣2（2﹣n）=2n﹣1．
（2）c n = = =． ∴数列{c n }的前 n 项和 S n = [2+3•2 2 +5×2 3 +···+（2n﹣1）•2 n ]， ∴2S n = [2 2 +3•2 3 +···+（2n﹣3）•2 n +（2n﹣1）•2 n+1 ]， ∴﹣S n = [2+2]， = [2+2]， 可得：S n =． （3）不等式 2λ 2 ﹣kλ+2＞a 2n b n ，即 2λ 2 ﹣kλ+2＞2 2 ﹣ 2n •（2n﹣1）， 令 d n =2 2﹣2n •（ 2n ﹣ 1 ）
， 则 d n+1 ﹣ d n = ﹣= = ＜0， 因此 d n+1 ＜d n ，即数列{d n }单调递减，因此 n=1 时 d n 取得最大值 d 1 =1． ∵对所有的正整数 n 都有 2λ 2 ﹣kλ+2＞a 2n b n 成立， ∴2λ 2 ﹣kλ+2＞1，∵λ＞0． ∴k＜2λ+ ，∵2λ+ ≥2 =2 ，当且仅当 λ= 时取等号。
∴k＜2 ． 即 k 的取值范围是（- 2 ）．
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