{正文}
2018- -9 2019 学年度广西桂林市第十八中学第二学期高二开学考试
数学（理）
试题
注意事项：
①本试卷共 4页，答题卡 2 页。考试时间 120 分钟，满分 150 分； ②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意。每小题 5分，共 60分）
1．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 ( 1) i z i ，则 z 的虚部是
A．12
B．12i
C．12i
D．12 2．若2cos( )2 3 ，则 cos( 2 )
A．29 B．59 C．29
D．59
3．已知平面向量 (1,2) a ， ( 2, ) b m ，且 / / a b ，则 2 3 a b
A． ( 5, 10)
B． ( 4, 8)
C． ( 3, 6)
D． ( 2, 4)
4．已知命题2: 4,log 2 p x x ；命题 : q 在 ABC 中，若3A ，则3sin2A 。则下列命题为真命题的是
A． p q
B． p q
C． p q
D． p q
5． 1 8 15 2 14+3 + =120 + =na a a a a a 在等差数列 中， ，则
A．6
B．12
C．24
D．48 6．已知函数 ( ) f x21cos4x x ， "( ) f x 是函数 ( ) f x 的导函数，则 "( ) f x 的图象大致是
7．过原点且倾斜角为 的直线被圆 + -4y-1=0 所截得的线段长为
A．1
B．2
C．3
D．4 8．如下图所示，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．4
B．5
C．6
D．7 来
9．执行如下图所示的程序框图，则输出的 S 值为
A．4849
B．5051
C．4951
D．4950 10．已知函数 sin f x A ωx φ 0 02πA ω φ ， ， 的部分图象如下图所示，若将 ( ) f x 图像上的所有点向右平移6个单位得到函数 ( ) g x 的图像，则函数 ( ) g x 的单调递增区间为
A． Z k k k ,4,4
B． Z k k k ,42 ,42
C． Z k k k ,6,3
D． Z k k k ,62 ,32
11．已知双曲线 C：
- =1（a>0，b>0）的左右焦点分别为 、 ，过 的直线交 C的右支于 P、Q两点，若 = ，3 =2 则该双曲线的离心率为
A．2 B．
C．
D．
12．已知 b a, 为正实数，直线 a x y 与曲线 ) ln( b x y 相切，则22ab 的取值范围是
A． ) , 0 (
B．(0，1)
C． )21, 0 (
D． ) , 1 [
第 II 卷（选择题，共 90分）
二、填空题（每小题 5分，共 20 分）
13．已知 , x y 满足3 003 0xy xx y ，则目标函数 2 z x y 的最大值为__________． 14．已知 0
1
2 a ， ， ， 1
1
3
5 b ， ， ， ，则函数 22 f x ax bx 在区间 1
， 上为增函数的概率是__________．
15．所有棱长都相等三棱锥 A-BCD中，E是棱 AD的中点，P是棱 AC上一动点，BP+PE 的最小值为 ，则该正四面体的外接球的表面积为_________． 16．设函数 21 ,xx xf x g xx e ，对任意 1 2, 0, x x ，不等式 1 21g x f xk k恒成立，则正数 k 的取值范围是
． 三、解答题（共 70分）（本大题共 6小题，共 70分）
17．（本小题满分 10分）
在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且2 cos 3 cos 3 cos b A c A a C ． （1）求角 A 的值； （2）若6B ， BC 边上中线 7 AM ，求 ABC 的面积． 18．（本小题满分 12分）
已知数列 中， = ， =3 +2n（n ）
（1）令 = - +1，求证：数列 是等比数列； （2）求数列 的通项公式。
19．（本小题满分 12分）
已知 x=3 是 f（x）= -a +3x 的极值点 （1）求 a； （2）若关于 x 的方程 0 f x m 有三个不同的实根，求实数 m 的取值范围. 20．（本小题满分 12分）
如图，三棱柱 ABC- 中，∠BCA= ，AC 平面 BC.
（1）证明：BC A； （2）若 BC=AC， A= C，求二面角 - B-C的余弦值.
21．（本小题满分 12分）
设 F 1 ，F 2 分别是椭圆2 215 4x y 的左右焦点. （1）若 P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值. （2）是否存在经过点 A（5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C，D，使得|F 2 C|＝|F 2 D|？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 22．（本小题满分 12分）
已知函数 f（x）=
（1）求 ( ) f x 在 1, ( 1) a a 上的最小值； （2）若关于 x 的不等式2 ( )( ) 0 f x mf x 只有两个整数解，求实数 m 的取值范围．
{答案}
2018- -9 2019 学年度广西桂林市第十八中学第二学期高二开学考试
数学（理）
试题 参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B B D A D C B A C C 二、填空题 13．-3
14．13
15． 12
16．12 1ke 三、解答题 17．解：（1）∵2b - c = a ，由正弦定理，得 2 - = …………………………………………2 分 2 =
2 ………………………………………………………………4 分 ∵ ≠0 ∴ = ，又 0<A< ∴A= …………………………………………………………………………………6 分 （2）∵∠B= ，∴C = -A-B = ， 可知△ABC 为等腰三角形，…………………………………………………………8 分 在△ABC中，由余弦定理得 = + -2AC·MC·
即 7= + -2b· · ， ∴b=2，………………………………………………………………………………10 分 ∴△ABC的面积为 S= = ………………………………………………12 分 18．解：（1）略 （2）
,
19．解：（1）a=5 （2）
20．略 21．解：（1）易知 a＝ 5 ，b＝2，c＝1，∴F 1 （－1，0），F 2 （1，0）
设 P（x，y），则2 215 4x y 2分
＝（－1－x，－y）·（1－x，－y）＝x 2 ＋y 2 －1＝x 2 ＋4－45x 2 －1＝15x 2 ＋3 4分
∵x 2 ∈[0，5]， 当 x＝0，即点 P为椭圆短轴端点时， 有最小值 3； 当 x＝± 5 ，即点 P为椭圆长轴端点时， 有最大值 4. 6分
（2）假设存在满足条件的直线 l，易知点 A（5，0）在椭圆外部，当直线斜率不存在时，直线 l 与椭圆无交点.
所以满足条件的直线斜率存在，设为 k 则直线方程为 y＝k（x－5）
由方程组2 215 4( 5)x yy k x
得：（5k 2 ＋4）x 2 －50k 2 x＋125k 2 －20＝0 依题意，△＝20（16－80k 2 ）＞0 得：5 55 5k
当5 55 5k 时，设交点为 C（x 1 ，y 1 ），D（x 2 ，y 2 ），CD中点为 R（x 0 ，y 0 ）
则 x 1 ＋x 2 ＝22505 4kk ，x 0 ＝21 22252 5 4x x kk9分
∴y 0 ＝k（x 0 －5）＝k（22255 4kk －5）＝2205 4kk 又|F 2 C|＝|F 2 D|，有 F 2 R⊥l，即2F Rk k ＝－1
10分
即2222 22200 ( )205 425 4 2015 4F Rkkkk k kk kk ＝－1
即 20k 2 ＝20k 2 －4，该等式不成立，所以满足条件的直线 l 不存在. 12分
22．解：(1)21 ln(2 )( )xf xx ，令 ( ) 0 f x 得 ( ) f x 的递增区间为 (0, )2e； 令 ( ) 0 f x 得 ( ) f x 的递减区间为 ( , )2e ， 2分
∵ 1, x a ，则当 12ea 时， ( ) f x 在 1,a 上为增函数， ( ) f x 的最小值为(1) ln2 f ；
当2ea 时， ( ) f x 在 1,2e 上为增函数，在 ,2ea 上为减函数，又ln4(2) ln2 (1)2f f ， ∴若 22ea ， ( ) f x 的最小值为 (1) ln2 f ， 若 2 a ， ( ) f x 的最小值为ln2( )af aa ， 综上，当 1 2 a 时， ( ) f x 的最小值为 (1) ln2 f ；当 2 a ， ( ) f x 的最小值为 ln2( )af aa 6分
（2）由（1）知 ( ) f x 的递增区间为 (0, )2e；令 ( ) 0 f x 得 ( ) f x 的递减区间为( , )2e ，
, ln2 ln 1 0, 0 ( ) 021=0. 82ex e x f xf 且在 上 又 ，又 分 0 m 时，由不等式2 ( )( ) 0 f x mf x 得 ( ) 0 f x 或 ( ) f x m ，而 ( ) 0 f x 解集为1( , )2
整数解有无数多个，不合题意；
0 m 时，由不等式2 ( )( ) 0 f x mf x 得 ( ) 0 f x ，解集为1 1(0, ) ( , )2 2 ， 整数解有无数多个，不合题意； 0 m 时，由不等式2 ( )( ) 0 f x mf x 得 ( ) f x m 或 ( ) 0 f x ， ∵ ( ) 0 f x 解集为1(0, )2无整数解， 若不等式2 ( )( ) 0 f x mf x 有两整数解，则 (3) (1) (2) f m f f ， ∴1ln2 ln63m
综上，实数 m 的取值范围是1ln2, ln63 12分
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