目录 内容简介 目 录 第 5 章 虚功原理与结构位移计算 5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解 5.3 名校考研真题详解 第 6 章 力 法 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解 6.3 名校考研真题详解 第 7 章 位移法 7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 名校考研真题详解
第 5 章 虚功原理与结构位移计算 5.1 复习笔记 一、应用虚力原理求刚体体系的位移 1．推导位移计算一般公式的基本思路 推导过程的基本思路是“化整为零和积零为整”：把结构的整体变形分解为局部变形，应先用刚体体系的虚力原理导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
2．结构位移计算概述 （1）计算结构位移的目的 ①验算结构的刚度； ②为超静定结构的内力分析打下基础。
（2）产生位移的原因 ①荷载作用； ②温度变化和材料胀缩； ③支座沉降制造误差。
3．应用虚力原理求刚体体系的位移——单位荷载法 例如，图 5-1-1（a）中的静定梁，支座 A 向上移动一个已知距离 ，现在拟求 B 点的竖向位移 。
图 5-1-1 位移状态已给定，力系则可根据我们的意图来虚设。在拟求位移 的方向设置单位荷载，根据平衡条件，可得支座 A 的反力 ＝ ，图 5-1-1（b）中的虚设平衡力系在实际刚体位移上作虚功，虚功方程为
可以求解出
在拟求的位移 方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求出与 相应的支座反力 。这个解法称为单位荷载法。
4．支座移动时静定结构的位移计算 归纳求解步骤如下：
（1）沿拟求位移 Δ 方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力 ； （2）令虚设力系在实际位移上作虚功，建立虚功方程
（3）由虚力方程，解出拟求位移
二、结构位移计算的一般公式——单位荷载法 1．局部变形时静定结构的位移计算举例 图 5-1-2（a）所示悬臂梁在 B 处两个相邻截面有相对转角 θ。试求 A 点的竖向位移 Δ。
图 5-1-2 解：图 5-1-2（a）中的实际位移状态可改用图 5-1-2（b）来表示。这里，在 B 处加铰，把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态。
为了求未知位移 Δ，可虚设力系如图 5-1-2（c）所示。这里，在 A 点沿拟求位移 Δ 的方向虚设单位荷载。此外．在铰 B 处还必须虚设一对弯矩 根据平衡条件可求出 均数值如下
令图 5-1-2（c）中的平衡力系在图 5-1-2（b）中的实际位移上作功，可写出虚功方程如下
解得
由此看出，位移 Δ 与截面相对转角 θ 成正比，它们之间的比例系数正好就是虚设单位荷载在该截面引起的弯矩 。
2．局部变形时的位移计算公式
3．结构位移计算一般公式
（5-1）
4．结构位移计算的一般步骤——单位荷载法 （1）在某点沿拟求位移 Δ 的方向虚设相应的单位荷载； （2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力 和支座反力 ； （3）最后根据公式（5-1）可求出位移 Δ。
5．广义位移的计算——虚设广义单位荷载 （1）广义单位荷载定义 对于公式（5-1）中的拟求位移 Δ 可以引申理解为广义位移。在求广义位移时，则需要根据广义位移的性质虚设一个单位荷载，称为广义单位荷载。
（2）广义位移和广义单位荷载示例，如表 5-1-1 所示。
表 5-1-1
三、荷载作用下的位移计算 1．荷载引起的位移的计算公式
2．各类结构的位移公式 （1）梁和刚架
（2）桁架
（3）桁架混合结构
（4）拱
3．截面平均切应变 γ 0 和系数 k （1）平均切应变 γ 0
（2）系数 k
四、图乘法 1．图乘法及其应用条件 （1）图乘法公式
（2）应用条件 杆段应是等截面直杆段，两个图形中至少有一个是直线，标距 y 0 应取自图中直线。
（3）正负号规则 面积 与标距 在杆的同一边时，乘积 取正号； 与 在杆的不同边时取负号。
2．几种常见图形的面积和形心位置
图 5-1-3 3．应用图乘法时的几个具体问题 （1）如果两个图形都是直线图形，则标距 可取自其中任一个图形； （2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑；如果直杆的 EI 不是常数，也可进行分段考虑，保证每段图乘中杆的 EI 为常数即可； （3）如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。
五、温度改变时的位移计算 1．位移计算公式
2．正负号规则 （1）轴力 以拉伸为正， 以升高为正； （2）弯矩 和温差 引起的弯曲为同一方向时（即当 和 使杆件的同一边产生拉伸变形时），其乘积取正值，反之取负值。
六、变形体的虚功原理 1．变形体虚功原理 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所作外虚功 W 恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的内虚功 W i 。
2．变形体虚功原理的表达式
3．变形体虚功方程的应用条件 （1）力系平衡条件
（2）变形协调条件 应变位移关系式和几何边界条件合在一起称为变形协调条件。
4．变形体虚功方程
5．虚力原理和虚位移原理 （1）虚力原理及其虚力方程 ①虚力方程
②虚力原理 在虚设力系满足平衡方程并具有任意性的前提下，如果虚力方程成立，则待检查的变形状态必满足变形协调方程。反之，在上述前提下，如果已知该变形状态满足变形协调方程，则虚力方程必成立。综合起来，在上述前提下，虚力方程是变形协调方程的充分必要条件。
（2）虚位移原理及其虚位移方程 ①虚位移方程
②虚位移原理 在虚设变形状态满足变形协调方程并具有任意性的前提下，如果虚位移方程成立，则待检查的力系必满足平衡方程。反之，在上述前提下，如果已知该力系满足平衡方程，则虚位移方程必成立。综合起来，在上述前提下，虚位移方程是力系平衡方程的充分必要条件。
6．单位支座位移法
七、互等定理 1．功的互等定理 在任一线性变形体系中，状态 的外力在状态 的位移上作的功 等于状态 的外力在状态 的位移上作的功 。
2．位移互等定理 在任一线性变形体系中，由荷载 所引起的与荷载 相应的位移影响系数 等于由荷载所引起的与荷载 相应的位移影响系数 。
3．反力互等定理 在任一线性变形体系中，由位移 所引起的与位移 相应的反力影响系数 等于由位移所引起的与位移 相应的反力影响系数 。
4．位移反力互等定理 在任一线性变形体系中，由位移 所引起的与荷载 相应的位移影响系数 ，在绝对值上等于由荷载 所引起的与位移 相应的反力影响系数 ，但二者相差一个负号，即。
5.2 课后习题详解 5-1
试用刚体体系虚力原理求图 5-2-1 所示结构 D 点的水平位移：
（a）设支座 A 向左移动 1 cm。
（b）设支座 A 下沉 1 cm。
（c）设支座 B 下沉 1 cm。
图 5-2-1 解：（a）
图 5-2-2 虚设力的方向同位移方向相同，运用刚体虚功方程得
（b）
图 5-2-3 根据比例关系，算出 D 的水平位移，列出刚体虚功方程
（c）
图 5-2-4 列虚功方程
5-2
设图 5-2-5 所示支座 A 有给定位移 Δ x 、Δ y 、Δ φ 。试求 K 点的竖向位移 Δ V 、水平位移Δ H 和转角 θ。
图 5-2-5 解：给定位移，结构状态如图 5-2-6 所示。
图 5-2-6 （1）求竖向位移
图 5-2-7 施加一个竖向力，虚设力状态如图 5-2-7 所示，对应开始时的位移状态，列虚功方程
（2）求水平位移
图 5-2-8 施加一个水平力，虚设力状态如图 5-2-8 所示，列虚功方程
（3）求转角
图 5-2-9 虚设力状态如图 5-2-9 所示，列虚力方程
5-3
设图 5-2-10 所示三铰拱支座 B 向右位移单位距离。试求 C 点的竖向位移 Δ 1 、水平位移 Δ 2 和两个半拱的相对转角 Δ 3 。
图 5-2-10 解：（1）求竖向位移
图 5-2-11 在 C 点施加一个竖向虚力，结构虚设力状态如图 5-2-11 所示，支座位移和力的方向相反，则列虚功方程
（2）求水平位移
图 5-2-12 施加水平方向的单位力，虚设力状态如图 5-2-12 所示，列虚功方程
（3）求相对转角
图 5-2-13 两端施加单位力偶，虚设力状态如图 5-2-13 所示，列虚功方程
5-4
设图 5-2-14 所示三铰拱中的拉杆 AB 在 D 点装有花篮螺丝。如果拧紧螺丝，使截面D 1 与 D 2 彼此靠近的距离为 λ，试求 C 点的竖向位移 Δ。
图 5-2-14 解：两截面相互靠近，可知 AB 上有相对的位移，可用虚功方程求解。
图 5-2-15 在 C 点施加一个竖向的虚设力，AB 杆的轴力如图 5-2-15 所示，列虚功方程
5-5
设图 5-2-16 所示柱 AB 由于材料收缩，产生应变-ε 1 。试求 B 点的水平位移 Δ。
图 5-2-16 解：虚设力状态如图 5-2-17 所示。
图 5-2-17 则运用虚功原理，列方程
5-6
设由于温度升高，图 5-2-18 所示杆 AC 伸长 λ AC ＝1 mm，杆 CB 伸长 λ CB ＝1.2 mm。试求 C 点的竖向位移 Δ。
图 5-2-18 解：在 C 点施加竖向虚设力，虚设力状态如图 5-2-19 所示。
图 5-2-19 则 C 点的竖向位移 Δ 为
5-7
试用积分法求图 5-2-20 所示悬臂梁 A 端和跨中 C 点的竖向位移和转角（忽略剪切变形的影响）。
图 5-2-20 解：（a）①A 端的竖向位移 在 A 端施加一个竖向虚设力，则梁上产生的弯矩为：
；外力均布荷载产生的弯矩为：。
所以位移为
②A 端的转角 在 A 端施加一个虚设弯矩，则梁上产生的弯矩为：
；外力均布荷载产生的弯矩为：。
则位移为
③C 点的竖向位移 在 C 点施加一个竖向虚设力，则在梁上产生的弯矩：
（坐标原点放到 C 点）；均布荷载产生的弯矩为：
。
则位移为
④C 点的转角 在 C 点施加一个虚设弯矩，则在梁上的产生的弯矩为：
（坐标原点放到 C 点）；均布荷载产生的弯矩为：
。
则位移为
（b）因为外力集中荷载在 C 左边不产生作用，因此为了方便起见，把坐标原点放到 C 点。
①A 点的竖向位移
，则位移为
②A 点的转角
，则位移为
③C 点的竖向位移
，则位移为
④C 点的转角
，则位移为
5-8
试用积分法求图 5-2-21 所示梁的跨中挠度（忽略剪切变形的影响）。
图 5-2-21 解：（a）在跨中施加一个竖向虚设力，梁弯矩为：
（左半边弯矩）；外力荷载作用下弯矩为：
，结构左右对称，因此求位移
（b）在跨中施加一个竖向虚设力，梁弯矩为：
（只考虑左半边）；外力荷载作用下弯矩为：
，结构左右对称，因此位移为
5-9
试求图 5-2-22 所示简支梁中点 C 的竖向位移 Δ，并将剪力和弯矩对位移的影响加以比较。设截面为矩形，h 为截面高度， 。
图 5-2-22 解：（1）求位移 在 C 点施加一个竖向虚设力，则产生弯矩 ，轴力 ，剪力 （只考虑左半边）；外力荷载在结构上，产生弯矩 ，轴力 ，剪力，且结构左右对称。
①弯矩对位移的影响
②剪力对位移的影响
故总位移为
（2）比较剪力和弯矩对位移的影响 求二者比值
将题中所给的 代入上式，则比值为 。
可以看出剪力对位移的影响仅仅是弯矩的 ，因此在某些情况下可以不用考虑剪力的影响。
5-10
试求图 5-2-23 所示结点 C 的竖向位移 Δ C ，设各杆的 EA 相等。
图 5-2-23 解：
图 5-2-24 在 C 点施加一个竖向的虚设力，则结构各杆内力反应如图 5-2-24 所示；外力作用下，各杆的内力反应也如图 5-2-24 所示。则 C 点竖向位移为
5-11
试求图 5-2-25 所示结构结点 C 的水平位移 Δ C ，设各杆的 EA 相等。
图 5-2-25 解：在 C 点施加一个水平虚设力。
结构的虚设力状态图和荷载轴力图，如图 5-2-26 所示。
图 5-2-26 求位移得
5-12
试求图 5-2-27 所示结构结点 C 的水平位移 Δ C ，设各杆的 EA 相等。
图 5-2-27 解：
图 5-2-28
首先在 C 点施加一个水平虚设力，注意到桁架 C 点以上都为零杆，因此只考虑 C 点一下结构受力。虚设力状态图、荷载的轴力图如图 5-2-28 所示，则结点 C 的水平位移为
5-13
试求图 5-2-29 所示等截面圆弧曲杆 A 点的竖向位移 Δ V 和水平位移 Δ H 。设圆弧 AB为 个圆周，半径为 R，EI 为常数。
图 5-2-29 解：（1）A 点的竖向位移
在 A 点施加一个竖向的虚设力，虚设力状态和外荷载作用下的应力状态，如图 5-2-30 所示。
图 5-2-30 求解得到 ，则 A 点的竖向位移为
（2）A 点的水平位移
虚设力状态如图 5-2-31 所示：
图 5-2-31 图中 ，外力荷载同上，则 A 点的水平位移为
5-14
试求图 5-2-32 所示曲梁 B 点的水平位移 Δ B ，已知曲梁轴线为抛物线，方程为
EI 为常数，承受均布荷载 q。计算时可只考虑弯曲变形。设拱比较平，可取 ds＝dx。
图 5-2-32 解：在 B 点施加水平虚设力，则任意点的弯矩为
外力荷载作用下，梁任意点的弯矩为
则 B 点的水平位移为
5-15
试用图乘法解习题 5-7。
解：（a）外力荷载下的弯矩图如图 5-2-33 所示。
图 5-2-33 ①A 点的竖向位移 A 点施加竖向虚设力，则弯矩图如图 5-2-34 所示。
图 5-2-34 与 图乘：
，对应的形心 ，所以位移为
②A 点的转角 A 点施加虚设单位弯矩，则弯矩图如图 5-2-35 所示。
图 5-2-35 与 图乘：
相同，对应的形心 ，所以位移为
③C 点的竖向位移 虚设力的弯矩图如图 5-2-36 所示。
图 5-2-36 对应外力荷载的弯矩图为如图 5-2-37 所示。
图 5-2-37 图乘时，把 图分解成 两个图形，其中：
C 点竖直位移为
注：用到了两个矩形图乘的公式。
图 5-2-38 上图中两个图形的图乘结果为
④C 点的转角 虚设力的弯矩图如图 5-2-39 所示。
图 5-2-39 图乘结果为
（b）弯矩图如图 5-2-40 所示。0
图 5-2-40 分别与 M P 图图乘可得
5-16
试用图乘法解习题 5-8。
解：（a）作虚力弯矩图和外荷载弯矩图，如图 5-2-41 所示。
图 5-2-41 M P 图分解为 两个图形，其中
图乘求其跨中挠度为
（b）作虚设力弯矩图和外荷载弯矩图，如图 5-2-42 所示。
图 5-2-42 直接图乘，得出跨中挠度
5-17
试用图乘法求图 5-2-43 所示梁的最大挠度 f max 。
图 5-2-43 解：作出虚设力和外荷载的弯矩图，如图 5-2-44 所示。
图 5-2-44 对两个图进行图乘即可求出梁的最大挠度
5-18
试求图 5-2-45 所示梁在截面 C 和 E 的挠度。已知 E＝2.0×10 5 MPa，I 1 ＝6560 cm 4 ，I 2 ＝12430 cm 4 。
图 5-2-45 解：（1）C 点的挠度 虚设力和外荷载的弯矩图如图 5-2-46 所示。
图 5-2-46 则可以求得 C 点的挠度为
（2）E 点的挠度 虚设力弯矩图如图 5-2-47 所示，外荷载 M P 图与（1）中相同。
图 5-2-47 则 E 点的挠度为
5-19
试求图 5-2-48 所示梁 C 点挠度，已知 F P ＝9 000 N，q＝15 000 N/m，梁为 18 号工字钢，I＝1 660 cm 4 ，h＝18 cm，E＝2.1×10 5
MPa。
图 5-2-48 解：分别作虚设力和外荷载下的弯矩图，如图 5-2-49 所示。
图 5-2-49
将 M P 分解为只有均布荷载作用下的弯矩图和只有 F P 作用下的弯矩图，然后分别与虚设力弯矩图做图乘，得 C 点挠度为
5-20
试求图 5-2-50 所示梁 C 点挠度。已知 EI＝2×10 8 kN·cm 2 。
图 5-2-50 解：作虚设力和外荷载的弯矩图，如图 5-2-51 所示。
图 5-2-51 两个图进行图乘，得到 C 点的挠度
5-21
试求图 5-2-52 所示梁 B 端的挠度。
图 5-2-52 解：为了计算简便，本题采用“修补法”。
先将 AB 整体看做一个刚度为 EI 1 的杆件，求出其端部位移
再端部的长度为 a 的一部分就行修补，把这一段看成一个刚度为（EI 2 -EI 1 ）的杆件，求端部位移
将两个位移相加，得到 B 点的挠度
5-22
试求图 5-2-53 所示刚架 A 点和 D 点的竖向位移。已知梁的惯性矩为 2I，柱的惯性矩为 I。
图 5-2-53 解：注意梁和柱的刚度不同，因此图乘的时候要分开计算。
（1）A 点的竖向位移 作虚设力和外荷载的弯矩图，如图 5-2-54 所示。
图 5-2-54 两个图进行图乘，得到 A 点的竖向位移
（2）D 点的竖向位移 作虚设力的弯矩图如下图 5-2-55 所示， 图与（1）相同。
图 5-2-55
两个图进行图乘，得到 D 点的竖向位移
5-23
试求图 5-2-56 所示三铰刚架 E 点的水平位移和截面 B 的转角。设各杆 EI 为常数。
图 5-2-56
解：（1）E 点的水平位移 作虚设力和外荷载的弯矩图，如图 5-2-57 所示。
图 5-2-57 对两个图进行图乘，得到 E 点的水平位移
（2）B 点的转角 虚设力如图 5-2-58 所示，外荷载的弯矩图 图与（1）中相同。
图 5-2-58 对两个图进行图乘，得到 B 点的转角
5-24
试求图 5-2-59 所示结构 B 点的水平位移。
图 5-2-59 解：
分别作出虚设力和外荷载的弯矩图，如图 5-2-60 所示。
图 5-2-60 其中梁的刚度为无穷大，因此在图乘的时候不考虑梁上的作用，对两个图进行图乘，得到B 点的水平位移
5-25
试求图图 5-2-61 所示结构 C 点的水平位移 Δ H ，竖向位移 Δ V ，转角 θ。设各杆 EI 与EA 为常数。
（a）忽略轴向变形的影响。
（b）考虑轴向变形的影响。
图 5-2-61 解：（a）忽略轴向变形的影响 分别作出虚设力和外荷载作用下的弯矩图，如图 5-2-62 所示。
图 5-2-62 分别用 图与 图进行图乘，得到相应的位移：
水平位移：
； 竖向位移：
；
转角：
。
（b）考虑轴向变形的影响 分别作出虚设力和外荷载作用下的轴力图，如图 5-2-63 所示。
图 5-2-63 分别用 和 图乘，计算出相应的位移，与（a）中的相加即可。
计算水平位移时，图乘结果为 0，因此水平位移，和（a）中相同，为 ； 竖向位移，为 ； 集中力矩不产生轴力，因此转角与（a）中相同，为 。
5-26
试求题 5-8 简支梁截面 A 和 B 的相对转角 Δ。
解：（a）分别作虚设力和外荷载的弯矩图，如图 5-2-64 所示。
图 5-2-64 将两个图进行图乘，得到 A、B 的相对转角
（b）作出外荷载的弯矩图，如图 5-2-65 所示。虚设力的弯矩图 图和（a）中相同。
图 5-2-65 对两个图进行图乘，得到 A、B 的相对转角
5-27
图 5-2-66 所示框形刚架，在顶部横梁中点被切开。试求切口处两侧截面 A 与 B 的竖向相对位移 Δ 1 ，水平相对位移 Δ 2 和相对转角 Δ 3 。设各杆 EI 为常数。
图 5-2-66 解：作出三个虚设力下的弯矩图，如图 5-2-67 所示。
图 5-2-67 作均布荷载下的弯矩图，如图 5-2-68 所示。
图 5-2-68 观察，图 1 是反对称的，而 图是正对称的，则图乘结果相加为 0，所以竖向相对位移；图 2、图 3 都是正对称的需要图乘计算。
水平相对位移
相对转角
5-28
试求图 5-2-69 所示结构中 A、B 两点距离的改变值 Δ。设各杆截面相同。
图 5-2-69 解：在 A、B 两点施加虚设力，作虚设力和外荷载的弯矩图和轴力图，如图 5-2-70 所示。
图 5-2-70 图乘计算，两点距离改变值为
5-29
设图 5-2-71 所示三铰刚架内部升温 30℃，各杆截面为矩形，截面高度 h 相同。试求 C 点的竖向位移 Δ C 。
图 5-2-71 解：在 C 点施加一个竖向的虚设力，产生的弯矩和轴力，如图 5-2-72 所示。
图 5-2-72 代入温度变化引起位移公式
C 点的竖向位移为
5-30
在图 5-2-73 所示简支梁两端作用一对力偶 M，同时梁上边温度升高 t 1 ，下边温度下降 t 1 。试求端点的转角 θ。如果 θ＝0，问力偶 M 应是多少?设梁为矩形截面，截面尺寸为b·h。
图 5-2-73 解：本题可先认为 M 已知，求出结构的转角 ，再令 ＝0，解出 M 即可。
（1）在端点施加一个虚设弯矩，作出虚设力和外荷载的弯矩图如下图 5-2-74 所示。
图 5-2-74 分别计算外荷载和温度引起的转角并叠加，得
（2）令 ＝0，解出 M
5-31
题 5-3 中的三铰拱温度均匀上升 t。试求 C 点的竖向位移 Δ 1 和 C 铰两侧截面的相对转角 Δ 2 ，拱轴方程为 。
解：
图 5-2-75 （1）C 点的竖向位移 在 C 点施加一个竖向的虚设力，如图 5-2-75 中虚设状态图 1 所示。
在虚设力的作用下拱结构上没有弯矩，只有轴力。各个位置的轴力为
代入公式，有
计算中取：
，计算得
（2）在 C 点两侧施加虚设单位力偶，如图 5-2-75 中虚设状态图 2 所示。同样拱结构中只有轴力作用，各位置的轴力为
同（1）中原理相似，代入公式积分得到 C 点两侧的相对转角
5-32
题 5-10 中桁架的下弦杆温度上升 t。试求 C 点的竖向位移 Δ C 。
解：在 C 点施加一个竖向的虚设力，结构的轴力图，如图 5-2-76 所示。
图 5-2-76 下弦杆整体温度上升，因此代入公式，积分计算可以求出 C 点的竖向位移
5.3 名校考研真题详解 一、填空题 1．图 5-3-1（a）所示桁架结构 C 点的竖向位移 Δvc＝______。[中国矿业大学 2009 研]
图 5-3-1
【答案】
【解析】本题为非对称荷载，因为 A 支座处有水平反力，而 B 支座没有，可将荷载分解为正对称和反对称，如图 5-3-1（b）、（c）所示。其中反对称荷载下 C 点竖向位移为零，只需计算正对称荷载下 C 点的竖向位移。在 C 点加一竖向单位力，求出 ，如图5-3-1（d）、（e）所示，则 C 点的竖向位移为
2．图 5-3-2（a）所示结构中支座 A 转动 角，则截面 A 弯矩 M A ＝______，截面 C 转角＝______。[哈尔滨工业大学 2007 研]
图 5-3-2 【答案】
【解析】画出结构的位移图，如图 5-3-2（b）所示，可以看出截面 c 转角为 ，逆时针转动。
也可以应用虚功原理，在 C 点加一虚单位弯矩，画出 图，如图 5-3-2（c），由刚体的虚功原理，列出方程得
二、选择题 1．图 5-3-3 所示结构中截面 C 转角 θ C 与截面 E 转角 θ E 为（
）。[西南交通大学 2012研]
图 5-3-3
【答案】B 【解析】上层为附属部分，下层为基本部分。CD 杆传下一个集中力，作用在 AB 杆的中点，为对称荷载，对称轴处的转角为零，即 θ C ＝0，但是却有竖向位移；上层的 DF 杆承受均布力，也是对称荷载，荷载引起的 E 点转角为零，但由于 D 支座随着 C 点有竖向位移，相当于支座沉降，引起 DF 杆逆时针转动。
2．图 5-3-4（a）所示结构，各杆 EI、EA 均为常数，线膨胀系数为 α。若各杆温度均匀升高 t℃，则 D 点的竖向位移（向下为正）为（
）。[浙江大学 2012 研]
图 5-3-4 A．-αta
B．αta
C．2αta
D．0 【答案】B 【解析】在 D 点加一向下的虚单位力，求出各杆弯矩和轴力，如图 5-3-4（b）、（c）所示，则 D 点的竖向位移为
三、判断题 1．图 5-3-5 所示简支梁，当 F P1 ＝1，F P2 ＝0 时，1 点的挠度为 ，2 点的挠度为。当 F p1 ＝0，F P2 ＝1 时，则 1 点的挠度为 （其中 F P1 作用在 1／4处，F P2 作用在 处）。（
）[中国矿业大学 2011 研]
图 5-3-5 【答案】错 【解析】由位移互等定理，1 点的挠度应等于 0.077l 3 ／EI。
2．无法用图 5-3-6 所示单位荷载，来求图示结构中 K 点的全位移。（
）
[北京科技大学 2008 研]
图 5-3-6 【答案】对 【解析】只能求水平方向的位移。
四、计算题 1．计算图 5-3-7 所示结构 B 点的水平位移，EI＝常数。[华南理工大学 2011 研]
图 5-3-7 解：先求实际荷载作用下的内力，再求虚设单位荷载下的内力。
先求 M p 图，如图 5-3-8 所示。
图 5-3-8 建立虚设力状态，绘制 图，如图 5-3-9 所示。
图 5-3-9 求位移，不考虑结构的轴向变形，则 ，用“图乘法”得
2．试求图 5-3-10（a）所示结构中截面 B、C 的相对竖向位移。EI＝常数。[福州大学2011 研] 解：在 B、C 两点加一对方向相反的单位力 1，作 M P 图和 图，如图 5-3-10（b）、（c）所示。
图 5-3-10 截面 B、C 的相对竖向位移为
3．图 5-3-11（a）所示结构，荷载 F P1 已知，杆件 C 端与地面光滑接触，问 F P2 为何值时C 端离开地面?（EI＝常数）[武汉大学 2010 研]
图 5-3-11 解：分别画出外荷载 F P1 、F P2 单独作用下的弯矩图，在 C 点加一竖向虚单位力，画出 图，如图 5-3-11（b）～（d）所示。
在 F P1 作用下 C 点的竖向位移为
在 F P2 单独作用下，C 点的竖向位移为
令 ，可求得当 时，C 端离开地面。
4．图 5-3-12（a）所示悬臂梁要考虑剪切变形的影响，EI、GA 为常数，剪切系数 k＝1.2，试求自由端的竖向位移。[天津大学 2008 研]
图 5-3-12 解：在自由端加一竖向单位力，画出 ，如图 5-3-12（b）～（f）所示，弯曲变形和剪切变形引起的位移都可以用图乘法。
弯曲变形引起的位移为
剪切变形引起的位移为
综上，自由端的竖向位移为
5．图 5-3-13（a）所示简支梁，上边温度升高 t℃，下边降低 t℃，同时在左半跨上作用均布荷载 q；梁为矩形等截面，高 h，EI＝常数，线膨胀系数为 α。若使梁中点竖向位移为零，求均布荷载 q。[浙江大学 2009 研]
图 5-3-13 解：在梁中点加一竖向虚单位力，作 M P 图和 图，如图 5-3-13（b）、（c）所示。
由荷载引起的梁中点竖向位移为
由温度变化引起的梁中点竖向位移为
若使梁中点竖向位移为零，则有 ，因此可求得：
。
第 6 章 力 法 6.1 复习笔记 一、超静定次数的确定——力法的前期工作 1．超静定结构的静力平衡特征和几何构造特征 （1）静力平衡特征 一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定，就称为超静定结构。
（2）几何构造特征 超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
2．超静定次数的确定 （1）从几何构造看，超静定次数＝多余约束的个数。
（2）从静力分析看，超静定次数＝未知力个数－平衡方程的个数。
（3）求超静定次数时，应注意以下事项：
①撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束； ②撤去一个铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束； ③撤去一个固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束； ④在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束； ⑤不要把必要约束拆掉； ⑥要把全部多余约束都拆除。
二、力法的基本概念 1．力法的基本未知量、基本体系和基本方程 （1）力法的基本未知量
把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键问题，把多余未知力当作处于关键地位的未知力——称为力法的基本未知量。
（2）力法的基本体系和基本结构 ①含有多余未知力的静定结构，称为力法的“基本体系”； ②去掉多余约束力和荷载后的静定结构，称为力法的“基本结构”。
（3）力法的基本方程
——基本结构在单位未知力单独作用下沿 方向的位移；
——未知力； ——基本结构在荷载单独作用下沿 方向的位移。
2．多次超静定结构的计算 （1）二次超静定结构 ①图 6-1-1（a）为二次超静定结构，取 B 点两个支杆为多余约束，用 X 1 、X 2 作为基本未知量代替，则基本体系如图 6-1-1（b）所示。
图 6-1-1 ②二次超静定结构的力法基本方程
（2）多次超静定——力法典型方程
——由荷载产生的沿 方向的位移； ——由单位力 产生的沿 方向的位移，常称为柔度系数。
在得到多余未知力的数值之后，超静定结构的内力可根据平衡条件求出，或者根据叠加原理用下式计算
三、力法解超静定刚架和排架 1．刚架的解法步骤 （1）选取基本体系； （2）列出力法方程； （3）求系数和自由项； （4）求多余未知力； （5）作内力图。
2．排架的解法步骤 原理同样是力法基本方程，不同之处在于排架主要分析柱子，柱子固定于基础顶面，是刚结点。同时，不考虑横梁的轴向变形，不考虑空间作用。
四、力法解超静定桁架和组合结构 1．超静定桁架 桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。
2．组合结构 组合结构中既有链杆也有梁式杆，计算力法方程的系数和自由项时，对链杆只考虑轴力的影响；对梁式杆通常可忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯矩的影响。
五、力法解对称结构 （1）对称结构是指结构的几何形式和支承情况对某轴对称和杆件截面和材料性质也对此轴对称的结构。
（2）作用在对称结构上的任何荷载可分解为：
①对称荷载
对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载彼此重合（作用点相对应、数值相等、方向相同）。
②反对称荷载 反对称荷载绕对称轴对折后，左右两部分的荷载正好相反（作用点相对应、数值相等、方向相反）。
（3）非对称荷载情形的两种做法：
①把荷载分解为对称与反对称两部分，对这两部分荷载分别计算，然后把两种结果叠加起来； ②不进行分解，直接取非对称荷载进行计算。
（4）利用对称性以简化计算的要点：
①选用对称的基本结构，选用对称力或反对称力作为基本未知量； ②在对称荷载作用下，只考虑对称未知力（反对称未知力等于零）； ③在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力（对称未知力等于零）； ④非对称荷载可分解为对称荷载和反对称荷载。
六、力法解两铰拱 1．两铰拱 两铰拱是一次超静定结构，其弯矩值在两支座处等于零，向拱顶逐渐增大，因此两铰拱的截面积通常也是由支座向拱顶逐渐增大以抵抗不断增大的弯矩。
2．两铰拱计算
图 6-1-2 （1）以推力 X 1 为基本未知量，则力法方程为
（2）任意截面 C 的弯矩和轴力
（3）如果只承受竖向载荷，则简支曲梁任意截面的弯矩 M P 与同跨度同载荷的简支水平梁相应截面的弯矩 彼此相等，即
（4）代入得
由力法方程可求出 X 1 （即推力 F H ）
（5）在竖向荷载作用下，两铰拱的内力计算公式为
3．两点结论 （1）从力法计算来看，两铰拱与两铰刚架基本相同，只是两铰拱的位移 δ 11 和 Δ 1P 需按曲杆公式计算，不能采用图乘法； （2）从受力特性来看，两铰拱与三铰拱基本相同。
4．带拉杆的两铰拱 带拉杆的两铰拱计算时，将其拉杆切断，代以多余未知力
其中 ，所以上式右边最后一项可以简化为 。
其它计算方法同无拉杆的两铰拱，不再重述。
七、力法解无铰拱 1．无铰拱 （1）无铰拱是三次超静定结构，在荷载作用下，弯矩分布比两铰拱较为均匀，但受支座移动的影响较大，故在地基不良的情况下应避免采用； （2）无铰拱因为是三次超静定计算，所以一般采用“弹性中心法”。
2．弹性中心法 先由式（6-1）确定弹性中心的位置；然后取带刚臂的基本体系，多余未知力作用在弹性中心；最后按力法方程（6-2）解出多余未知力。
八、支座移动和温度改变时的力法分析 1．支座移动时的计算 （1）支座移动时的计算特点 ①力法方程的右边可不为零； ②力法方程的自由项是基本结构由支座移动产生的； ③内力全部由多余未知力引起；
④内力与杆件刚度的绝对值有关。
（2）取不同的基本结构的计算 不同的基本结构，得出的力法方程不同。
一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数都出现在力法方程的右边项中，而其他的支座位移参数都出现在左边的自由项中。
2．温度改变时的计算 （1）温度变化引起的内力与杆件的 EI 成正比。在给定的温度条件下，截面尺寸愈大，内力也愈大； （2）当杆件有温差 Δt 时，弯矩图的竖矩出现在降温面一边，使升温面产生压应力，降温面产生拉应力； （3）拱的推力和内力与 1／δ 22 成正比，即与拱的刚度成正比。当温度升高时，轴力为压力；温度下降时，轴力为拉力； （4）材料收缩的影响，可以当成温度均匀下降来考虑。
九、超静定结构位移的计算 1．平面结构位移计算的一般公式
2．荷载作用下的位移公式
3．支座移动下的位移公式
4．温度变化下的位移公式
5．综合影响下的位移公式
式中 、 、 是超静定结构在全部因素影响下的内力，而 、 、 和 则是基本结构在单位力作用下的内力和支座反力。
十、超静定结构计算的校核 1．力法计算的阶段校核 （1）在计算前要核对计算简图和原始数据，检查基本体系是否为几何不变； （2）求系数和自由项时，先要校核内力图，并注意正负号； （3）方程解完后，应将解答代回原方程，检查是否满足； （4）最重要的是对最后内力图进行总核查、总校核。
2．平衡条件的校核 任意截取结构的某一部分都应满足平衡条件。一般的做法是截取结点或截取杆件，也可以截取结构的某一部分，来检查它是否满足平衡条件。
3．变形条件的校核 计算超静定结构内力时，除平衡条件外，还应用了变形条件，因此校核工作也应包括变形条件的校核。
6.2 课后习题详解 6-1
试确定下列图 6-2-1 所示结构的超静定次数。
图 6-2-1
解：（a）如图 6-2-2（a）所示，去掉 2 根链杆，超静定次数为 2； （b）如图 6-2-2（b）所示，去掉 7 根链杆，超静定次数为 7； （c）如图 6-2-2（c）所示，去掉 1 根链杆和 1 个铰支，超静定次数为 3； （d）如图 6-2-2（d）所示，去掉 3 根链杆，超静定次数为 3； （e）如图 6-2-2（e）所示，去掉 2 个铰支，超静定次数为 4； （f）如图 6-2-2（f）所示，去掉 2 根链杆，超静定次数为 2； （g）如图 6-2-2（g）所示，去掉 2 个铰支和切断 1 根杆，超静定次数为 7； （h）如图 6-2-2（h）所示，去掉 4 个链杆和切断 2 根杆，超静定次数为 10；
图 6-2-2 6-2
试用力法计算下列图 6-2-3 所示结构，作 M、F Q 图。除图 6-2-3（b）为变截面外，其余各图 EI＝常数。
图 6-2-3 解：（a）选取基本体系如图 6-2-4 所示。
图 6-2-4 列力法方程：
。
分别作出单位未知力和外荷载的弯矩图如图 6-2-5（a）、（b）所示。
再求方程中的系数和自由项，得
图 6-2-5
解力法方程得 。
根据叠加公式 ，求出弯矩变化点，用直线连接即可。
对于剪力图，可根据弯矩图的斜率进行绘制，其中剪力大小为弯矩图的斜率大小，正负号的规定如下：从杆轴开始向弯矩图倾斜方向旋转（转角为锐角），若顺时针旋转则剪力为正，逆时针旋转则剪力为负。
作出相应的弯矩图和剪力图如图 6-2-6 所示。
图 6-2-6 （b）选取基本体系如图 6-2-7 所示。
图 6-2-7 列力法方程：
。
作 图、 图如图 6-2-8 所示，并求出力法方程中的系数和自由项。
图 6-2-8 由于是变截面杆件，因此图乘的时候要注意分段。
解得 。
作内力图如图 6-2-9 所示。
图 6-2-9 （c）选取基本体系如图 6-2-10 所示。
图 6-2-10 列力法方程：
作 图、 图、 图如图 6-2-11 所示。
图 6-2-11 可求出系数和自由项，得
解力法方程，得到
作内力图如图 6-2-12 所示。
图 6-2-12 （d）选取基本体系如图 6-2-13 所示。
图 6-2-13 列力法方程：
。
作 图、 图如图 6-2-14 所示。
图 6-2-14 可求出系数和自由项，得
解力法方程得到 。
叠加得到内力图如图 6-2-15 所示。
图 6-2-15 6-3
试用力法计算下列图 6-2-16 所示刚架，作 M 图。
图 6-2-16 解：（a）图中为对称结构承受反对称荷载作用，取半边结构进行研究。
图 6-2-17 可见半边为静定结构，直接求出弯矩图即可，得
另半边根据对称可得出，整理可作出 M 图，如图 6-2-17（b）。
（b）图中为一次超静定结构，截断 CD 杆，取基本体系如图 6-2-18（a）所示。
图 6-2-18 列力法方程：
。
作出 图、 图如图 6-2-18（b）、（c）所示，图乘计算得出方程中的系数和自由项为
解力法方程得 。
叠加得到内力图，M 图如图 6-2-18（d）中所示。
（c）图中为对称结构承受正对称荷载，取半边结构进行研究。
可见半边结构为一次超静定，取基本体系如图 6-2-19 所示。
图 6-2-19 列力法方程：
。
作出 图、 图，求出方程中的系数和自由项，得
图 6-2-20
解力法方程，得到 。
叠加得到内力图，如图 6-2-21 所示。
图 6-2-21 （d）图中结构为二次超静定结构，取基本体系如图 6-2-22 所示。
图 6-2-22 列力法方程：
。
作 图、 图、 图如图 6-2-23（a）～（c）所示，并求出系数和自由项，得
图 6-2-23
代入力法方程中，解得 。
叠加作内力图，得到 M 图如图 6-2-23（d）所示。
6-4
试用力法计算下列图 6-2-24 所示排架，作 M 图(图 6-2-24（c）中圆圈内的数字代表各杆 EI 的相对值)。
图 6-2-24 解：（a）取基本体系，如图 6-2-25（a）所示。
列力法方程：
。
作 图、 图如图 6-2-25（b）、（c）所示，并求出系数和自由项，得
图 6-2-25 解力法方程，解得多余未知力：
。
叠加后，得到 M 图如图 6-2-25（d）所示。
（b）取基本体系，如图 6-2-26（a）所示。
列力法方程：
。
作 图、 图如图 6-2-26（b）、（c）所示，并求出系数和自由项，得
解力法方程，求得多余未知力为：
。
叠加作内力图，得到 M 图如图 6-2-26（d）所示。
图 6-2-26 （c）取基本体系如图 6-2-27（a）所示。
图 6-2-27 列力法方程：
。
求方程中的系数和自由项，得
解力法方程，得到多余未知力：
。
叠加作内力图，得到 M 图，如图 6-2-28 所示。
图 6-2-28 6-5
试用力法计算下列图 6-2-29 所示桁架的轴力。各杆 EA＝常数。
图 6-2-29 解：（a）选取基本体系，如图 6-2-30（a）所示。
列力法方程：
。
图 6-2-30 计算系数和自由项，得
代入力法方程中，得 。
叠加法，作轴力图，如图 6-2-30（d）所示。
（b）选取基本体系，如图 6-2-31（a）所示。
列力法方程：
。
求系数和自由项，得
代入力法方程，解得 。
叠加法作出轴力图，如图 6-2-31（d）所示。
图 6-2-31 6-6
图 6-2-32 所示一组合式吊车梁，上弦横梁截面 EI＝1400kN·m 2 ，腹杆和下弦的 EA＝2.56×10 5 kN。试计算各杆内力，作横梁的弯矩图。
图 6-2-32 解：图中为一次超静定结构，截断 CD 杆，取基本体系如图 6-2-33（a）所示。
列力法方程：
。
求系数和自由项，得
代入力法方程中求解，得 。
叠加法作内力图，得到 M 图如图 6-2-33（d）所示。
图 6-2-33
6-7
图 6-2-34 所示连续两跨悬挂式吊车梁，承受吊车荷载 F P ＝4.5kN，考虑吊杆的轴向变形。试计算吊杆的拉力和伸长，画出梁的 M、F Q 图。φ20 钢筋每根截面积 A＝3.14 cm 2 ，I20a 钢梁 I＝2370cm 4 。
图 6-2-34 解：题中结构可简化为图 6-2-35（a）中的结构，再截断中间的吊杆，取基本体系如图 6-2-35（b）所示。
图 6-2-35 列力法方程：
。
求系数和自由项得（吊杆截面积 ）
代入力法方程，解得 。
叠加法作内力图，如图 6-2-36 所示。
图 6-2-36 6-8
试作下列图 6-2-37 所示对称刚架的 M 图。
图 6-2-37 解：（a）荷载分为正对称荷载和反对称荷载，在正对称荷载中，横梁只承受压力，故只需要考虑反对称荷载作用下的弯矩图即可。
取半边结构如图 6-2-38（a）所示。
图 6-2-38 右端二元体属于附属结构可以去除，剩下的结构可再取半边结构，如图 6-2-38（b）所示。根据半边结构图 2 中所示，此时只需考虑一个静定悬臂梁，可直接作内力图如图 6-2-39所示。
图 6-2-39 （b）取 结构，取基本体系如图 6-2-40 所示。
列力法方程：
。
求系数和自由项，得
图 6-2-40 代入力法方程中，解得 。
叠加得到 M 图，如图 6-2-40 所示。
（c）取 结构，选取基本体系如图 6-2-41 中所示。
列力法方程
图 6-2-41 求系数和自由项，得
代入力法方程中，解得多余未知力为
叠加法作内力图，M 图如图 6-2-42 所示。
图 6-2-42 （d）只研究反对称荷载作用，半边结构，取基本体系如图 6-2-43 所示。
图 6-2-43 列力法方程：
。
求系数和自由项，得
代入力法方程，解得 。
叠加法作内力图，得到的弯矩图如图 6-2-44 所示。
图 6-2-44
6-9
试求解下列具有弹性支座的结构(图 6-2-45（a）中弹性支座刚度 ，图 6-2-45（b）中弹性支座抗转动刚度 )，并作 M 图。
图 6-2-45 解：（a）图中为一次超静定结构，取基本体系如图 6-2-46（a）所示。
图 6-2-46 列力法方程：
。
求系数和自由项，得
代入力法方程中，解得
叠加法作内力图，弯矩图如图 6-2-46（d）所示。
（b）图中为一次超静定结构，取基本体系如图 6-2-47（a）中所示。
图 6-2-47
列力法方程：
。
求系数和自由项，得
代入力法方程中，解得 。
叠加法作内力图，得到 M 图如图 6-2-47（d）所示。
6-10
为使图 6-2-48 所示梁截面 B 的弯矩为零，试问弹性支座刚度 k 应取多大?并求此时B 点的挠度。
图 6-2-48 解：取基本体系如图 6-2-49 所示。
图 6-2-49 列力法方程：
。
求系数和自由项，得
代入力法方程中，解得
根据 ，求 ，得
令 ，解得 。
B 点挠度：
。
6-11
试推导图 6-2-50 所示带拉杆抛物线两铰拱在均布荷载作用下拉杆内力的表达式。拱截面 EI 为常数，拱轴方程为
计算位移时，拱身只考虑弯矩的作用，并假设 ds＝dx。
图 6-2-50 解：取基本体系如图 6-2-51 所示。
图 6-2-51 列力法方程：
。
求系数和自由项。
作用下，拱结构上各个位置的弯矩为：
，故
均布荷载下，拱结构上各个位置的弯矩为
代入力法方程中，解得 。
由基本体系知， 即拉杆的内力。
6-12
试求等截面圆弧两铰拱当 ＝0.1，0.2，0.3，0.4，0.5 时，在满跨均布竖向荷载 q作用下的推力。
解：略
6-13
试求等截面圆管在图 6-2-52 所示荷载作用下的内力。圆管半径为 R。
图 6-2-52 解：（a）根据对称性，选 结构研究，取基本体系如图 6-2-53（a）所示。
图 6-2-53 列力法方程：
。
单位力作用时，杆件任意位置的弯矩都为 ； 在荷载作用下，各个位置的弯矩为 。
求系数和自由项，得
代入力法方程，解得 。
叠加法作内力图，得到弯矩图和剪力图，如图 6-2-53（b）、（c）所示。
（b）根据对称性，选 结构研究，取基本体系如图 6-2-54（a）所示。
图 6-2-54 列力法方程：
。
单位力作用时，杆件任意位置的弯矩都为 ； 在荷载作用下，各个位置的弯矩为 。
求系数和自由项，得
代入力法方程，解得 。
叠加法作内力图，得到弯矩图和剪力图，如图 6-2-54（b）、（c）所示。
6-14
试求图 6-2-55 所示等截面半圆无铰拱在拱顶受集中荷载 F P 时的内力。
图 6-2-55 解：图中为二次超静定结构，取基本体系如图 6-2-56 所示。
图 6-2-56 首先计算图中 d 的大小，确定弹性中心 O 的位置，得
确定 的大小，得
列力法方程
求出系数和自由项，得
代入力法方程，解得
水平推力：
。
拱顶截面弯矩：
。
拱脚截面弯矩：
。
6-15
图 6-2-57 所示一等截面圆弧形无铰拱，试求拱顶和拱脚截面弯矩。
图 6-2-57 解：选取结构的基本体系如图 6-2-58 所示。
图 6-2-58 求半径和圆心角：
，解得 。
所以有：
。
计算图中 d 的大小，确定弹性中心 O 的位置，得
列力法方程：
。
求解系数和自由项，得
代入力法方程中，解得
拱顶的截面弯矩为
拱脚的截面弯矩为
6-16
图 6-2-59 所示抛物线无铰拱的轴线方程 。截面面积 ，惯性矩，A 0 和 I 0 为拱顶截面处的面积和惯性矩。L＝18m，f＝3m，拱顶处截面高度为 h＝0.6 m，考虑弹性压缩。试求拱的水平推力 、拱顶和拱脚截面处内力(其中 )。
图 6-2-59 解：取基本体系如图 6-2-60 所示。
图 6-2-60
列力法方程：
的作用下，
的作用下，
外荷载作用下，
A 0 与 I 0 的关系，如图 6-2-61 所示，则有
图 6-2-61 求系数和自由项，得
代入力法方程中，解得
水平推力：
拱顶截面弯矩：
拱脚截面弯矩：
6-17
设图 6-2-62 所示梁 A 端有转角 α，试作梁的 M 图和 F Q 图；对每一个梁选用两种基本体系计算，并求梁的挠曲线方程和最大挠度。
图 6-2-62 解：（a）
（1）取基本体系如图 6-2-63（a）所示，列力法方程：
。
其中 。
解得 ，作弯矩图如图 6-2-63（c）所示。
图的绘制可以利用弯矩图的斜率进行，如图 6-2-63（d）所示。
图 6-2-63 （2）取基本体系如图 6-2-64（a）所示，列力法方程：
。
求方程中系数和自由项
解得 ，作弯矩图如图 6-2-64（c）所示。
图 6-2-64
图的绘制参考（1），如图 6-2-64（d）所示。
（3）在跨中虚设一个单位力，作出 图，然后和 M 图进行图乘计算，求出跨中挠度。
图 6-2-65
求最大挠度：令 ，计算得 ，则，故挠度最大为 。
（b）
（1）忽略轴向变形，图中为二次超静定结构，去掉 A、B 端的弯曲约束，取基本体系如图 6-2-66（a）所示。
图 6-2-66
列力法方程：
。
求系数和自由项， 图如图 6-2-66（b）、（c）所示。
代入力法方程中，解得 。
叠加法作内力图，得到 M 图如图 6-2-66（d）所示。
（2）去掉 B 端的支座，代之相应的约束力，忽略轴向变形，所以 ，则图示为二次超静定结构，取基本体系如图 6-2-67 所示。
列力法方程：
。
求系数和自由项， 图如图 6-2-67（b）、（c）所示。
代入力法方程中，解得 。
叠加法作内力图，得到 M 图如图 6-2-67（d）所示。
图 6-2-67 （3）在跨中虚设一个单位力，作出 图，然后和 M 图进行图乘计算，求出跨中挠度。
图 6-2-68
求最大挠度：
，计算得 ，则 ，故挠度最大为 。
6-18
设图 6-2-69 所示梁 B 端下沉 c，试作梁的 M 图和 F Q 图。
图 6-2-69 解：忽略轴向变形，去掉 B 端约束，代之两个未知力，取基本体系如图 6-2-70 所示。
图 6-2-70 列力法方程：
。
求系数和自由项，作 图如图 6-2-71 所示。
图 6-2-71
代入力法方程中，解得 。
叠加法作内力图，得到 如图 6-2-72 所示。
图 6-2-72 6-19
图 6-2-73 所示钢筋混凝土烟囱平均半径为 R，壁厚 h，温度膨胀系数为 α。当内壁温度与外壁温度差值为 t 时，试求烟囱内力。
图 6-2-73 解：取烟囱的半边结构研究，为二次超静定结构，取基本体系如图 6-2-74 所示。
图 6-2-74 列力法方程：
。
求系数和自由项
代如力法方程，解得 。
烟囱内力为
6-20
图 6-2-75 所示梁上、下侧温度变化分别为＋t 1 与＋t 2 (t 2 ＞t 1 )，梁截面高 h，温度膨胀系数 α。试求作 M 图及挠曲...
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