目录 内容简介 目 录 第 1 章 绪 论 1 复习笔记 1.2 名校考研真题详解 第 2 章 稳态热传导 1 复习笔记 2.2 名校考研真题详解 第 3 章 非稳态热传导 1 复习笔记 3.2 名校考研真题详解 第 4 章 热传导问题的数值解法 1 复习笔记 4.2 名校考研真题详解 第 5 章 对流传热的理论基础 1 复习笔记 5.2 名校考研真题详解 第 6 章 单相对流传热的实验关联式 1 复习笔记 6.2 名校考研真题详解 第 7 章 相变对流传热 1 复习笔记 7.2 名校考研真题详解 第 8 章 热辐射基本定律和辐射特性 1 复习笔记 8.2 名校考研真题详解 第 9 章 辐射传热的计算 1 复习笔记 9.2 名校考研真题详解 第 10 章 传热过程分析与换热器的热计算 10.1 复习笔记
10.2 名校考研真题详解 第 11 章 传质学简介 1 复习笔记 11.2 名校考研真题详解
第 第 1 章
绪
论 1.1
复习笔记 一、传热学的研究内容及其在科学技术和工程中的应用 1．传热学的研究内容 传热学就是研究由温差引起的热能传递规律的科学。
2．传热学研究中的连续介质假定 假定所研究的物体中的温度、密度、速度、压力等物理参数都是空间的连续函数，对于气体，只要被研究物体的几何尺度远大于分子间的平均自由程，这种连续体的假定总是成立的。
3．传热学与工程热力学的关系 （1）相同点 传热学与工程热力学都是研究与热现象有关的科学 （2）不同点 ①工程热力学研究的是处于平衡状态的系统，其中不存在温差或者压力差，而传热学则正是研究有温差存在时的热能传递规律； ②根本区别反映在传热学和传热学中广泛使用的物理使用参数单位上。在热力学的各个物理量（如焓、热力学能、熵、比热容等）中都不包含时间，而传热学的主要物理量都以时间作为分母，即关心单位时间内能传递多少热能。
（3）关系 ①分析任何的热量传递过程都要用到热力学第一定律，即能量守恒定律； ②在研究热能从一种介质传递到另一种介质时，在两种介质的分界面上也要用到能量守恒的原则。
4．传热学在科学技术各个领域中的应用 大致上可以归纳为三种类型的问题：
（1）强化 （2）削弱传热； （3）温度控制。
二、热能传递的三种基本方式
热能的传递有三种基本方式：热传导、热对流与热辐射。
1．热传导 物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热能传递称为热传导，简称导热。
（1）傅里叶定律（导热基本定律）
（1-1）
λ 比例系数，称为热导率，又称导热系数，负号表示热量传递方向与温度升高的方向相反。Ф 的单位为 W。
（2）热流量 单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量，记为 Ф，单位为 W。
（3）热流密度 通过单位面积的热流量，记为 q，单位为 W/m 2 。
（4）导热系数 ①导热系数是表征材料导热性能优劣的参数，即是一种热物性参数，其单位为 W/（m·K）。
②不同材料的导热系数值不同，即使是同一种材料，导热系数值还与温度等因素有关。
2．热对流 （1）热对流 热对流是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。
（2）对流传热 流体流过一个物体表面时流体与物体表面间的热量传递过程称为对流传热。
（3）对流传热可区分为 ①自然对流传热：流体的流动是由于流体冷、热各部分的密度不同而引起的对流传热。
②强制对流传热：流体的流动是由于水泵、风机或其他压差的作用而引起的对流传热。
③沸腾传热及凝结传热：液体在热表面上沸腾及蒸汽在冷表面上凝结的对流传热问题，分别简称为沸腾传热及凝结传热，它们是伴随有相变的对流传热。
（4）牛顿冷却公式 ①流体被加热时
（1-2）
②流体被冷却时
（1-3）
式中， 及 ，分别为壁面温度和流体温度。表面传热系数（表面传热系数以前又常称为对流换热系数）h，单位是 W/（m 2 ·K）。
（5）影响表面传热系数大小的因素 ①流体的物性（λ、η、ρ、c p 等）； ②换热表面的形状、大小与布置； ③流速。
3．热辐射 （1）辐射 物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。
（2）热辐射 因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。
（3）辐射传热 又称辐射换热，自然界中各个物体都不停地向空间发出热辐射，同时又不断地吸收其他物体发出的热辐射。辐射与吸收过程的综合结果就造成了以辐射方式进行的物体间的热量传递——辐射传热。
（4）导热、对流与辐射的区别 ①导热、对流只在有物质存在的条件下才能实现，而热辐射可以在真空中传递； ②辐射传热不仅产生能量的转移，而且还伴随着能量形式的转换。
（5）黑体 能吸收投入到其表面上的所有热辐射能量的物体称为黑体。
（6）斯忒藩-玻耳兹曼定律
（1-4）
一切实际物体的辐射能力都小于同温度下的黑体。实际物体辐射热流量的计算可以采用斯忒藩-玻耳兹曼定律的经验修正形式：
（1-5）
三、传热过程和传热系数 1．传热方程式 （1）传热过程 热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程称为传热过程。
（2）传热过程串联着三个环节 ①从热流体到壁面高温侧的热量传递； ②高壁面低温侧的热量传递，亦即穿过固体壁的导热； ③从壁面低温侧到冷流体的热量传递。
（3）热流量表达式 由于是稳态过程，通过串联着的每个环节的热流量 Ф 应该是相同的。设平壁表面积为 A，三个环节的热流量的表达式如下：
（a）
（b）
（c）
整理后得
（1-6）
也可以表示成
（1-7）
（4）传热系数为 k，单位为 W/（m 2 ·K）。数值上，它等于冷、热流体间温差 Δt＝1 o C、传热面积 A＝1m 2 时的热流量的值。
（5）传热系数大小的影响因素 ①参与传热过程的两种流体的种类； ②过程本身（如流速的大小、有无相变等）。
2．传热热阻 （1）传热系数 k 的表达式
（1-8）
这个式子揭示了传热系数的构成，即它等于组成传热过程诸串联环节的 、 及之和的倒数。
（2）传热过程热阻
称为传热过程热阻，其组成为
（1-9）
传热过程热阻的组成 、 及 分别是各构成环节的热阻。串联热阻叠加原则与电学中电阻叠加原则相对应，即：在一个串联的热量传递过程中，如果通过各个环节的热流量相同，则串联环节的总热阻等于各串联环节热阻之和。
1.2
名校考研真题详解 一、填空题 1-1 在热流给定的传热过程中，传热系数增加一倍，冷热流体间的温差是原来的______。[浙江大学 2006、2007 研] 【答案】一半 【解析】根据传热方程式 ，在热流一定的情况下，传热系数 增加一倍，由于 保持不变，所以冷热流体间的温差 是原来的一半。
1-2 锅炉炉墙外墙与大气间的换热是______。[浙江大学 2006 研] 【答案】对流换热
1-3
已知一个换热过程的温压为 100℃，热流量为 10kW，则其热阻为______。[浙江大学 2006 研] 【答案】
【解析】设热阻为 ，则根据传热方程式可知 。把 、 代入上式，可得热阻为：
。
1-4
在一维稳态传热过程中，每一个换热环节的热阻分别为 0.01K/W、5K/W、100K/W，则热阻为______的换热环节上采取强化传热措施效果最好。[浙江大学 2006 研] 【答案】
【解析】热阻为 的换热环节在总热阻中占主导地位，它具有改变总热阻的最大潜力。因此，在热阻为 的换热环节上采取强化传热措施效果最好。
1-5
自然对流换热是指______。[浙江大学 2000 研] 【答案】没有外部机械力的作用，仅仅靠流体内部温度差而使流体流动，从而产生的流体与物体表面间的热量传递过程。
【解析】作答本题时应注意解释好自然对流和对流换热两个概念。
①自然对流：由于流体内部存在着温度差，使得各部分流体的密度不同，温度高的流体密度小，必然上升；温度低的流体密度大，必然下降，从而引起流体内部的流动为自然对流。
②对流换热：流体流过一个物体表面时流体与物体表面间的热量传递过程称为对流换热。
所以自然对流换热即指：流体的流动起因是自然对流的对流换热现象，其具体的定义即答案。
二、名词解释题 1-6
对流换热。[东南大学 2002 研] 答：工程上，把流体流过一个物体表面时流体与物体表面间的热量传递过程称为对流换热。
1-7
传热系数。[东南大学 2002 研] 答：传热系数在数值上等于冷、热流体间温差 ℃、传热面积 时热流量的值。它表征传热过程强烈程度。
三、综合题 1-8
对于室内安装的暖气设施，试说明从热水至室内空气的热量传递过程中，包含哪些传热环节？[华中科技大学 2004 研] 答：传热环节包括热水与暖气内壁面的对流换热和辐射换热、暖气内壁面与外壁面之间的导热、外壁面与室内空气的对流换热和辐射换热。
1-9
图 1-1 所示为一半圆与一平面所组成的表面，温度保持在 500℃，周围流体的问题为 300℃，对流换热系数 h＝1W/（m 2 ·K），已知 D＝100mm，L＝300mm，试求出此表面的散热量。[上海交通大学 2001 研]
图 1-1 解：根据对流传热的基本计算式，可知
由此可以确定该表面的散热量为 。
1-10
解释以下现象：某办公室由中央空调系统维持室内恒温，人们注意到尽管冬夏两季室内都是 20℃，但感觉却不同。[东南大学 2000 研] 答：这是因为冬夏两季室外温度不同，在对流传热的作用下，导致冬夏两季墙壁的温度是不同的。考虑辐射换热，人体与墙壁之间进行辐射换热。由于冬天的壁温较低，所以冬天人体与墙壁之间的辐射换热量更大。所以尽管冬夏两季室内都是 ℃，但人的感觉是不一样的。
1-11 解释以下现象：同样是-6℃的气温，在南京比在北京感觉要冷一些。[东南大学 2000 研] 答：本问题可以通过简单的传热模型解释。物体（无相变）在温度变化时所吸收或放出的热量为
南京的空气湿度大于北京，而湿空气的比热大于干空气。由上式可知，相同质量的空气在变化相同的温度时，南京的湿空气吸收的热量大于北京的干空气。所以同样的温度，在南京比在北京感觉要冷。
1-12 在某产品的制造过程中，厚度为 2.0mm 基板上紧贴一层厚为 0.1mm 的透明薄膜，薄膜表面上有一股冷气流流过，其温度为 10℃，对流换热系数为 50W/（m 2 ·K），同时有辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，基板的另一面维持在 30℃，生产工艺要求薄膜与基板的结合面的温度应为 60℃，试确定辐射热流密度 q 应为多大？（已知薄膜导热系数为 0.02W/（m·K），基板的导热系数为 0.06W/（m·K）。投射到结合面上的辐射热流全部被结合面吸收，薄膜对 60℃的热辐射不透明，而对投入辐射是完全透明的。）[浙江大学 2001 研]
解：分析结合面，可知存在如下传热过程：热辐射；通过透明薄膜的热传导，薄膜与冷气流之间的对流传热；经过基板的热传导。传热过程示意图图 1-2 所示。
图 1-2 对上述传热过程进行热阻分析。
薄膜的导热热阻为：
； 冷气流换热热阻：
； 基板的导热热阻：
。
根据能量守恒可得辐射热流密度为
1-13
“对流换热”是否是基本的传热方式，它与“热对流”有何本质上的区别？解释这两种现象并作比较。[重庆大学 2005 研]
答：对流换热不是基本的传热方式。它是流体与相互接触的固体表面之间的热能传递现象，是导热和热对流两种基本传热方式共同作用的结果；而热对流是由于流体的宏观运动使不同温度的流体相对位移而产生的热能传递现象，热对流只发生在流体之中，并伴随有微观粒子热运动而产生的导热。
1-14
流体与表面对流换热时，热量是如何传递的？[西北工业大学 2001 研] 答：在对流换热过程中，热量的传递是靠分子运动产生的“导热”和流体微团之间形成的“对流”这两种作用来完成的。因而流体与表面的对流换热是热传导和热对流综合作用的结果。
1-15
热阻的定义是什么？给出三种传热模式热阻的表达式。[中国科学院 2009 研] 答：热阻的定义为温度差与传热功率的比值。
平壁的导热热阻：
。
对流换热热阻：
。
辐射换热热阻：
。
1-16
写出牛顿冷却定律在外部流动、内部流动以及沸腾过程中的形式，并指出各温度的物理意义。[中国科学院 2008 研] 答：牛顿冷却定律在外部流动、内部流动以及沸腾过程的表达式分别为 ， ，
其中， 为固体壁面表面温度， 为流体温度， 为流体在管道横截面上的平均温度，为相应压力下液体的饱和温度。
1-17
一扇玻璃窗的宽和高分别为 W＝1m 和 H＝2m，厚为 5mm，导热系数 k g ＝1.4W/（m·K）。如果在一个寒冷的冬天，玻璃的内外表面温度分别为 15℃和－20℃，通过窗户的热损速率是多少？为减少通过传呼的热损，习惯上采用双层玻璃结构，其中相邻的玻璃由空气间隙隔开。如果间隙厚为 10mm，且与空气接触的玻璃表面的温度分别为10℃和－15℃，通过一个 1m×2m 的窗户的热损速率是多少？空气的导热系数为 k a ＝0.024 W/（m•K）。[中国科学院 2008 研] 解：利用热阻分析法。先考虑单层玻璃结构的情形，单层玻璃的导热面积热阻为
根据传热基本方程式，可得通过窗户的热损速率为
再考虑单层玻璃结构的情形，单层玻璃的导热面积热阻为
根据传热基本方程式，可得通过窗户的热损速率为
1-18
有一个水冷器，其空气侧表面的对流换热系数 h 1 ＝45W/（m 2 ·K），传热壁面厚度为 ＝1.55mm，导热系数 ＝387W/（m 2 ·K），水侧表面的对流换热系数为 h 2 ＝5000W/（m 2 ·K）。设传热壁可以看成无限大的平壁，试计算各个环节中单位面积的热阻以及空气到水的总传热系数。你能否指出，为了强化这一传热过程，应该首先从哪个环节入手？[国防科技大学 2005 研] 解：三个环节的单位面积热阻的计算分别如下：
空气侧换热面积热阻：
。
传热壁面面积热阻：
。
水侧换热面积热阻：
。
所以空气到水的总传热系数为
由上面计算可知，空气侧、传热壁导热、水侧的面积热阻分别占总热阻的 99.09%、0.02%、0.89%。空气侧热阻占总热阻的主要地位，它具有改变总热阻的最大潜力。所以，为了强化这一过程，应该从强化空气侧换热这一环节着手。
1-19
若冷热流体分别在一块大平板的两侧流过，试写出平板传热的总传热系数。[国防科技大学 2004 研] 答：冷热流体分别在一块大平板的两侧流过，这个传热过程主要由下面三个环节组成：
（1高温流体以对流传热方式传给壁面； （2一侧壁面以导热方式传到另一侧壁面； （3）热量从低温流体侧壁面以对流传热方式传给低温流体。
设高、低温流体温度分别为 、 ，高温流体侧壁面温度为 ，低温流体侧壁面温度为 ，高温流体侧对流传热系数为 ，低温流体侧对流传热系数为 ，大平板厚度为 ，平板材料导热系数为 ，如图 1-3 所示。
图 1-3 对于高温侧对流传热，热流量表达式为：
。
对于中间平壁导热，热流量表达式为：
。
对于低温侧对流传热，热流量表达式为：
。
整理上述三式，消去 、 ，可得：
。
所以，平板传热的总传热系数为
1-20
无限大平壁的壁厚 以及两侧表面的温度 ， 均已知，材料的导热系数对温度的依变关系为 ，式中 和 均为常数值。请导出平壁导热热流密度的计算式。[国防科技大学 2004 研] 解：根据傅里叶定律，热流密度的表达式为：
。
等式两边同乘 ，并且积分可得：
。
把 代入上式，可得：
。
计算整理可得平壁导热热流密度的计算式为
第 第 2 章
稳态热传导 2.1
复习笔记 一、导热基本定律——傅里叶定律 １．各类物体的导热机理 （1）气体导电机理 导热是气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果。
（2）固体导电机理 ①导电固体中有相当多的自由电子，它们在晶格之间像气体分子那样运动（称为电子气）； ②在非导电固体中，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的。
（3）液体导电机理 ①观点一认为：定性上类似于气体，只是情况更复杂，因为液体分子间的距离比较近，分子间的作用力对碰撞过程的影响远比气体大； ②观点二认为：液体的导热机理类似于非导电固体，主要靠弹性声波的作用。
2．温度场 （1）温度场定义 像重力场、速度场等一样，物体中存在温度的场，称为温度场，它是各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称为温度分布。一般地说，物体的温度场是坐标与时间的函数，即
（2-1）
（2）温度场的分类 ①稳态温度场或定常温度场 稳态工作条件下的温度场，此时物体中各点的温度不随时间而变，称为稳态温度场或定常温度场。稳态温度分布的表达式简化为
（2-2）
②瞬态温度场或非定常温度场 工作条件变动时的温度场，温度分布随时间而变化。
（3）等温线（面）
温度场中同一瞬间相同温度各点连成的面称为等温面。在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。
3．导热基本定律 （1）导热基本定律即傅里叶导热定律的数学表达式
（2-3）
（2）傅里叶导热定律用热流密度 q 表示时有下列形式
（2-4）
（3）傅里叶导热定律的一般形式的数学表达式是对热流密度矢量写出的，其形式为
（2-5）
式中：gradt 是空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向。
4．导热系数 （1）导热系数的定义式由傅里叶定律的数学表达式给出
（2-6）
（2）导热系数的数值取决于物质的种类和温度等因素。
5．工程导热材料的一般分类 工程技术中采用的导热材料与结构可以分为四类，如图 2-1 所示。
图 2-1 二、导热问题的数学描写 1．导热微分方程 为了获得导热物体温度场的数学表达式，必须根据能量守恒定律和傅里叶定律来建立物体中的温度场应当满足的变化关系式，称为导热微分方程。
2．定解条件 导热微分方程是所有导热物体的温度场都应该满足的通用方程，对于各个具体的问题，还必须规定相应的时间与边界的条件，称为定解条件。
3．导热微分方程 （1）三维非稳态导热微分方程一般形式
（2-7）
①导热系数为常数
（2-8）
式中 称为热扩散率或热扩散系数。
②导热系数为常数、无内热源
（2-9）
③常物性、稳态
（2-10）
数学上，上式称为泊松方程，是常物性、稳态、三维且有内热源问题的温度场控制方程式。
④常物性、无内热源、稳态
（2-11）
⑤对常物性、无内热源的一维稳态导热问题
（2-12）
（2）球坐标系
（2-13）
（3）球坐标系
（2-14）
4．定解条件
（1）定解条件的三类边界条件 ①第一类边界条件（规定了边界上的温度值）
时，
（2-15）
②第二类边界条件（规定了边界上的热流密度值）
时，
（2-16）
③第三类边界条件（规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数 h 及周围流体的温度 t f ）
以物体被冷却的场合为例，第三类边界条件可表示为
（2-17）
（2）辐射边界条件 如果导热物体表面与温度为 T e 的外界环境只发生辐射换热，则应有
（2-18）
（3）界面连续条件 对于发生在中的导热问题，不同材料的区域分别满足导热微分方程。
接触良好的不均匀材料的界面条件为 ，
（2-19）
图 2-2
5．热扩散率的物理意义
（1）热扩散率的定义式
（2）热扩散率的性质 ①分子 λ 是物体的导热系数，λ 越大，在相同的温度梯度下可以传导更多的热量。
②分母 ρc 是单位体积的物体温度升高 1℃所需的热量，ρc 越小，温度上升 1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量继续向物体内部传递，能使物体内各点的温度更快地随界面温度的升高而升高。
（3）热扩散率的物理意义 热扩散率 a 是 λ 与 两个因子的结合。a 越大，表示物体内部温度扯平能力越大；材料中温度表化传播得越迅速。
6．傅里叶定律及导热微分方程的适用范围 （1）适用条件 ①傅里叶导热定律实际上是基于热扰动的传递速度是无限大的假定之上的； ②对一般的工程技术中发生的非稳态导热问题，热流密度不是很高，过程作用的时间足够长，过程发生的尺度范围也足够大，傅里叶导热定律以及基于该定律而建立起来的导热微分方程是完全适用的。
（2）不适用的情形 ①温度导热物体的温度接近 0K（绝对零度）时； ②时间的作用时间极短，与材料本身固有的时间尺度相接近时； ③尺度效应：当过程发生的空间尺度极小，与微观粒子的平均自由行程相接近时。
三、典型一维稳态导热问题的分析解 １．通过平壁的导热 （1）单层平壁 先讨论导热系数为常数的情形。已知一个厚度为 δ、没有内热源的平壁，其两个表面分别维持在均匀而恒定的温度 t 1 、t 2 。
①通过圆筒壁的热流密度
（2-20）
对于表面积为 A、两侧表面各自维持均匀温度的平板，则有
（2-21）
②导热材料的测定 对于一块给定材料和厚度的平壁，施加已知的热流密度时，测定了平壁两侧的温差Δt 后，就可据此得出实验条件下材料的导热系数。
（2-22）
③热阻概念论述 热量传递是自然界中的一种转移过程，与自然界中的其他转移过程，各种转移过程的共同规律性可归结为
在电学中，这种规律性就是众所周知的欧姆定律，即
在平壁导热中．与之相对应的表达式可从式（2-21）的下列改写形式中得出
（2-23）
式（2-23）中各项的物理意义为 a．热流量 Φ 为导热过程的转移量； b．温压 Δt 为转移过程的动力； c．分母 为转移过程的阻力，称为热阻。
就平壁单位面积而言，导热热阻为 ，称为面积热阻，总面积热阻为 。以下热阻（按总面积计）及面积热阻（按单位面积计）分别用符号 R 及 R A 表示。
图 2-3
多层平壁导热 （2）多层平壁 ①多层壁定义：由几层不同材料叠在一起组成的复合壁。
②各层的热阻表达式如下
应用串联过程的总热阻等于其分热阻的总和，即所谓串联热阻叠加原则，把各层热阻叠加就得到多层壁的总热阻
于是，可导得热流密度的计算公式
（2-24）
③n 层多层壁的计算公式
（2-25）
解得热流密度后，层间分界面上的未知温度 t 2 、t 3 就可求出。例如
（2-26）
当导热系数是温度的线性函数，即 时，取计算区域平均温度下的 值代入按 λ 等于常数时的计算公式，就可获得正确的结果。
2．通过圆筒壁的导热 （1）单层圆筒壁 考察一个内外半径分别为 r 1 、r 2 的圆筒壁，其内、外表面温度分别维持均匀恒定的温度 t 1 和 t 2 ，先假设材料的导热系数 λ 等于常数。
①单层圆筒壁的温度分布
（2-27）
②通过圆筒壁的热流密度
（2-28）
③通过圆筒的热流量
（2-29）
④通过整个圆筒壁的导热热阻
（2-30）
（2）多层圆筒壁 与分析多层平壁一样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过多层圆筒壁的导热热流量（假设层间接触良好）
（2-31）
3．通过球壳的导热 ①温度分布
（2-32）
②热流量
（2-33）
③热阻
（2-34）
4．带第二类、第三类边界条件的一维导热问题 与第一类边界条件求解的区别在于确定任意常数 C 1 、C 2 所利用的边界条件不同。
5．变截面或变导热系数的一维问题 （1）当导热系数为变数或者导热面积沿热流密度矢量方向改变时，傅里叶定律的表达式为
分离变量后积分，并注意到热流量 Φ 与 x 无关。得
（l）
将式（l）右方乘以 得
（m）
显然，式中 是 λ 在 t 1 至 t 2 范围内的积分平均值，可用 来表示。于是式（m）可写成
（2-35）
四、通过肋片的导热
1．通过等截面直肋的导热
图 2-4
通过肋片的热量传递 （1）物理模型的简化假定 ①材料的导热系数 λ、表面传热系数 h 以及沿肋高方向的横截面积 A c 均各自为常数； ②肋片温度在垂直于纸面方向（即长度方向）不发生变化，因此可取一个截面（即单位长度）来分析； ③表面上的换热热阻 1/h 远远大于肋片中的导热热阻 δ/λ，因而在任一截面上肋片温度可认为是均匀的； ④肋片顶端可视为绝热，即在肋的顶端 ＝0。
（2）数学描写 导热微分方程式可简化为
（a）
设参与换热截面周长为 P，表面的总散热量为
（b）
相应的微元体积为 A c dx，因而相应的折算源项为
（c）
由于肋片向环境散热，相当于负的源项，因而取负号。将式（c）代入式（a），得
（d）
相应的两个边界条件为
（e）
（3）分析求解 为便于求解，引入过余温度 ，可得关于过余温度的齐次方程，于是有
（2-36a）
（2-36b）
其中 为一常量。
式（2-36a）通解为 （f）
其中 c 1 、c 2 由两个边界条件（2-36b）式确定，即
（g）
最后可得肋片中的温度分布为
（2-37）
令 X＝H，即可从上式得出肋端温度的计算式。因 ch0＝1，故得 （2-38）
由肋片散入外界的全部热流量都必须通过 x＝0 处的肋根截面。将式（2—37）的 θ代人傅里叶定律的表达式，即得此热流量为
（2-39）
2．肋效率与肋面总效率 （1）等截面直肋的效率 肋效率的物理意义
已知肋效率 η f 即可计算出肋片的实际散热量。对于等截面直肋，其肋效率为
（2-40）
对于直肋，假定肋片长度 l 比其厚度 δ 要大得多，所以可取出单位长度来研究。其中参与换热的周界 P＝2，于是有
（h）
对于环肋，理论分析表明，肋效率也是参数 mH 的单值函数。我们假定环肋的内半径远大于其厚度，将上式的分子分母同乘以 ，得
（2-41）
式中， 代表肋片的纵剖面积。实用上，往往采用以肋效率 η f 与 mH 或坐标的曲线，来表示各种肋片的理论解的结果。
（2）其他形状肋片的效率 表 2-1 常见肋片的肋效率计算式
图 2-5
等截面直肋和三角形肋片的效率曲线
图 2-6
环肋片的效率曲线
图 2-7
肋化表面示意图 （3）肋面总效率
设流体的温度为 t f ，流体与整个表面的表面传热系数为 h，肋片的表面积为 A f ，两个肋片之间的根部表面积为 A r ，根部温度为 t 0 ，则所有肋片与根部面积之和为 A 0 ，则 A 0 ＝A f ＋A r .计算该表面的对流换热量时，若以 t 0 －t f 为温差，则有
（2-42）
其中
（2-43）
称为肋面总效率。显然，肋片总效率高于肋片效率。
3．肋片的选用与最小重量肋片 增加肋片加大了对流传热面积，有利于减少总面积热阻，但是肋片增加了固体导热能力。因此，增加肋片是否有利取决于肋片的导热热阻与表面对流传热热阻之比。这一比值构成一个无量纲数，称为毕渥数，当 时，加肋总是有利的。
4．接触热阻 （1）接触热阻的定义 两个名义上互相接触的固体表面，实际上接触仅发生在一些离散的面积元上。在未接触的界面之间的间隙中常常充满了空气，热量将以导热的方式穿过这种气隙层。这种情况与与两固体表面真正完全接触相比，增加了附加的传递阻力，称为接触热阻。
（2）接触热阻的影响因素 ①两种材料的性质； ②表面粗糙程度； ③界面上所受的正压力。
五、具有内热源的一维导热问题 1．具有内热源的平板导热 （1）具有内热源的一维导热的微分方程
（2-44a）
（2）具有内热源的一维导热的边界条件
（2-44b）
（3）其温度分布为
（2-45）
（4）任一位置 x 处的热流密度
（2-46）
值得指出，由于给定壁面温度的情形可以看成是当表面传热系数趋于无穷大，从而流体温度等于壁面温度时的一个特例，当平壁两侧均为给定壁温 t w 时平壁中的温度分布可由式（2-45）得出，为
（2-47）
2．具有内热源的圆柱体导热 一半径为 r 1 的圆柱体，具有均匀的内热源 ，导热系数 λ 为常数，外表面维持在均匀而且恒定的温度 t 1 ，试确定圆柱体中的温度分布及最高温度。
具有内热源的圆柱体导热 （1）圆柱坐标中的导热微分方程式简化为
（2-48a）
（2）边界条件为
（2-48b）
（3）圆柱体中的温度场
（2-49a）
（4）圆柱体中的最高温度出现在圆心处
（2-49b）
六、多维稳态导热的求解 1．稳态导热问题求解方法简述
求解导热问题的关键是要获得物体中的温度分布，有了温度分布导热量不难利用傅里叶定律得出。
（1）分析解法 最重要的分析解法就是分离变量法。能应用分析解法的问题一般都有以下限制：
①求解区域 ②边界条件比较简单； ③物体的热物性为常数。
（2）数值解 （3）模拟方法
2．计算导热量的形状因子法 如果求解的目的只在于获得通过物体所传导的热量，则当导热物体主要是由两个等温的边界组成时，可以采用下述形状因子法。两个等温面间导热热流量总是可以表示成以下统一的形式 （2-50）
理论分析表明，对于二维或三维问题中两个等温表面间的导热热量计算，上式仍然成立，其中 S 与导热物体的形状及大小有关，称为形状因子。
表 2-2 几种几何条件下的形状因子 S
3．求解稳态导热的分离变量法举例 一个二维矩形物体的三个边界均为 t 1 ，第四个边界温度为 t 2 ，物体无内热源，导热系数为常数，现要确定物体中的温度分布。首先写出这一问题的数学描写。
图 2-8
矩形区域中的二维稳态导热
（2-51a）
（2-51b）
以下分析解
（2-52）
对 a＝b，t 1 ＝0℃，t 2 ＝100℃的情形，按式画出的等温线示于图 2-9 所示。从图中可以看出，在 y 方向上，物体中的温度梯度随 y 的增加而增加。
图 2-9
2.2
名校考研真题详解 一、选择题 2-1 试将圆筒壁的热阻与同材料、同厚度的平壁的热阻进行比较，如果温度条件相同，而平面的面积等于圆筒壁的内表面，则（
）是正确的。[湖南大学 2006 研] A小 B．平壁的热阻较大 C．二者的热阻相等 D．缺少条件，不好比较 【答案】B 【解析】设该材料的导热系数为 ，平壁的面积为 A，圆筒的长度为 l，圆筒内壁的直径为 ，圆筒和平壁的厚度为 ，则圆筒外壁的直径为 。因为平面的面积等于圆筒壁的内表面，则 。
平壁的导热热阻为：
。
圆筒壁的导热热阻为：
。
圆筒壁的导热热阻与平壁的导热热阻之比为：
。
数学分析：令 ， 。
时， 。且 时，。所以当 时， ，即 。
所以， 。
由此可见，平壁的热阻较大。
二、填空题 2-2 肋壁总效率的数学表达式为______。[浙江大学 2006 研]
【答案】
，其中， 为两个肋片之间的根部表面积， 为肋片的表面积， 为肋效率
2-3
肋效率的定义是______，当肋片高度为______时肋效率 达到 。[浙江大学2005 研] 【答案】
；零
2-4
如图 2-10 所示的双层平壁中的稳态温度分布判断两种材料的导热系数相对大小为______。[浙江大学 2005 研]
图 2-10 【答案】
【解析】分别考虑材料 A 和 B 的导热，可以看作是单层平壁导热问题，根据傅里叶定律可得
由题图可知：
。
由此可得：
。
2-5
导热微分方程的推导依据是______和______。直角坐标下一维，非稳态、无内热源导热问题的导热微分方程可以表示成______。[浙江大学 2004 研] 【答案】傅里叶定律；能量守恒定律；
2-6
如果测的通过一块厚 50mm 的大木板的热流密度为 ，木板两侧的表面温度分别为 40℃和 20℃，则该木板的导热系数为______；若将加热热流密度提高到 ，该木板的一侧表面温度为 25℃，则另外一侧的表面温度应为______。[浙江大学 2004 研] 【答案】
；
【解析】根据傅里叶定律可知 ，把 、 、代入，计算可得木板导热系数为：
。
当 时，木板两侧温度差为：
。
因为木板一侧的表面温度为 ，因而另外一侧的表面温度为 。
2-7
描述导热物体内部温度扯平能力的物性量叫______，它由______物性量决定，其定义式为______。[浙江大学 2001 研] 【答案】热扩散率；物体的导热系数 、密度 、比热容 ；
2-8
确定导热微分方程的定解条件中有边界条件，常用的有三种：
第一 第二； 第三类边界条件为______。[浙江大学 2001 研] 【答案】规定了边界上的温度值；规定了边界上的热流密度值；规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数 以及周围流体的温度
2-9
在求解导热热阻时，常碰到变导热系数的情况。当材料的导热系数为温度的线性函数，常取______下的导热系数作为平均导热系数。[浙江大学 2001 研] 【答案】材料定型温度，即算数平均温度。
2-10
肋片效率 是______。[浙江大学 2000 研] 【答案】实际散热量与假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量之比
2-11 导温系数 a 描述了物体______的能力。[浙江大学 2000 研] 【答案】传播温度变化的能力
三、判断题 2-12 对于需要强化换热的换热面来说，当毕渥数 时加肋片才有效。[湖南大学2006 研] 【答案】对 【解析】因为增加肋片加大了对流传热面积有利于减小总面积的热阻，但是肋片增加了固体的导热阻力。因而当毕渥数 时，加肋片才有效。
四、名词解释题 2-13
肋片效率 和肋壁总效率 。[重庆大学 2005 研] 答：肋片效率表征单个肋片散热的有效程度，它的物理意义是实际散热量与假设整个肋片表面处于肋基温度下的散热量之比。
肋壁总效率是表征整个肋壁散热的有效程度，它的物理意义是整个肋壁的实际散热量与假设整个肋壁均处于肋基温度下的散热量之比。
2-14
接触热阻。[东南大学 2002 研] 答：如图 2-11 所示，两个名义上互相接触的固体表面，实际上接触仅发生在一些离散的面积元上，在未接触的界面之间的间隙中充满空气，热量将以导热的方式穿过这种气隙层。这种情况下与两固体表面真正完全接触相比，增加了附加的传递阻力，称为接触热阻。
图 2-11
五、综合题 2-15
写出肋效率 的定义。对于等截面直肋，肋效率受哪些因素影响？[华中科技大学 2006 研] 答：（1）肋效率 的定义：肋表面的实际散热量与假设整个肋表面处于肋基温度时的散热量的比值。对于等截面直肋， ，其中 。
（2）等截面直肋的肋效率的影响因素：材料的导热系数 ，肋表面的换热系数 h，肋片高度等尺寸。
2-16
试说明推导导热微分方程所依据的基本定律。[华中科技大学 2005 研] 答：能量守恒方程和傅里叶定律。
2-17
导热系数和热扩散系数各自从什么公式产生？他们各自放映了物质的什么特性？并指出他们的差异。[华中科技大学 2005 研]
答：（1）导热系数是从傅里叶定律定义出来的一个物性量，它反映了物质的导热性能；热扩散系数是从导热微分方程式中定义出来的一个物性量，它放映了物质的热量扩散性能，也就是热量在物体内渗透的快慢程度。
（2）两者的差异在于前者是导热过程的静态特性量，而后者则是导热过程的动态特性量，因而热扩散系数反映的是非稳态导热过程的特征。
2-18
在圆管外表加装肋片，就一定能够增强传热吗？为什么？[华中科技大学 2004研] 答：不一定。加装肋片虽然能增大对流传热面积，有利于减小总面积热阻，但是肋片增加了固体导热阻力。因此，增加肋片是否有利取决于肋片的导热热阻与表面对流传热热阻之比。这一比值 构成一个无量纲数，称为毕渥数，当 时，加肋总是有利于传热的。
2-19
如图 2-12 所示，一厚度为 10mm，导热系数为 50W/（m·K）的不锈钢板，两维持固定温度 50℃，已知钢板两端之间的距离为 20cm，在垂直纸面方向很长。钢板上表面绝热，下表面有 20℃的空气缓慢流动，对流表面传热系数为 32W/（m 2 ·K），试导出此钢板的导热微分方程，求解所导出的方程得出温度分布，并求出钢板中心的温度值。双曲函数的相关数值如表 2-1 所示。[华中科技大学 2004 研]
表 2-1 X
chx
0
1
4
08
0.8
1.34
1.6
2.58
图 2-12 解：由于对称性，此问题等效为原厚度两倍，长度一半的肋片问题。
有能量守恒
① 有傅里叶定律：
，式中， 为截面积。
则有
②
③ 式中，P 为肋片界面周长。结合式①、②、③得
令 ， 为过余温度。
得微分方程为：
。
边界条件为：
； 。
微分方程通解为：
。
确定常数：
； 。
得：
， ， 。
温度分布为
钢板中心（ ）处的过余温度为 ℃ 钢板中心温度为 ℃
2-20
常物性、无内热源的稳态导热方程 中不包含任何物性量，这是否说明导热物体中的温度分布与导热物体的物性无关，为什么？[西安交通大学 2005 研] 答：常物性、无内热源的导热微分方程公式是导热微分方程的一般形式的简化结果，公式中只有在物体的导热率为常数时，才能简化为 。若导热系数不为常数，则上式便不成立。故上式不能说明物体中的温度分布与物性无关。
2-21 定性绘出在稳态导热条件如图 2-13 所示物体内的温度分布并说明理由。设物体导热系数 为常数。[西安交通大学 2004 研]
图 2-13 答：（图略）稳态导热有 ，沿 x 方向面积 A 逐渐增大，而稳态导热时 为定值，可知 逐渐减小。
2-22 用套管式温度计测量管道中流体的温度，为减小测温误差。
（1）若有铜和不锈钢两种材料，用哪一种做套管较好？为什么？ （2）将套管温度计安装在图 2-14 中①、②、③哪个位置较好？为什么？[西安交通大学 2003 研]
图 2-14 答：（1）用不锈钢做套管较好。因为温度计套管产生误差的主要原因是由于沿肋高（即套管长度方向）有热量导出和套管表面与流体之间存在换热热阻。因而要减小温度计套管的测温误差，可以选择导热系数小的材料，增加导热热阻，故选不锈钢。
（2）套管温度计安装在②处比较好，因为流体在流过②处时，由于离心力的作用，在横截面上产生了二次环流，增加了扰动，从而强化了换热，对应的 h 增加，从而使测温误差减小。
2-23
请写出直角坐标系中，非稳态，有内热源，常导热系数的导热微分方程表达式，并说明表达式中各项的物理意义。[北京科技大学 2007 研] 答：直角坐标系中，非稳态，有内热源，常导热系数的导热微分方程表达式为
其中：方程左边的项以及方程右边的第一项表示微元体热力学能的增量，方程右边的第二项表示微元体内热源的生产热。
2-24
为强化传热，可采取哪些具体措施？[北京科技大学 2007 研] 答：为强化传热，可增加传热面积 A，增加传热温差 ，增加表面换热系数 h 以及固体的导热系数 。
2-25
半径为 的圆球，其热导率（导热系数）为 ，单位体积发热量为 ，浸在温度为 的流体中，流体与球表面间的对流换热系数为 h。求稳态时圆球内的温度分布，并
计算当 ＝0.1m， ＝4.5W/（m·K）， ＝5000W/m 3 ，h＝15W/（m 2 ·K）， ＝20℃时，球内的最高温度。[北京科技大学 2007 研] 解：由题意：球体温度只能沿半径方向变化，球坐标系内的稳态导热方程可简化为
简化后，得
边界条件 r＝r s 时，
2-26
试在 t―x 坐标图上画出厚为 的无限大平板一维稳态导热温度分布曲线图并简扼解释之。已知 ， ； ， 。平板材料热导系数为 ，式中 b＞0。[上海交通大学 2002 研] 答：对于无限大平板一维稳定导热问题，大平板任意截面的热流密度是相等的。根据材料导热系数与温度的关系式（ ， ）可知，材料导热系数随着温度的降低而降低，又根据傅里叶表达式 可知， 随着温度的降低而增大。因而，对于无限大平板的一维稳定导热的温度分布曲线如图 2-15 所示。
图 2-15
2-27
有均与内热源的无限大平板稳定导热的边界条件及温度分布如图 2-16 所示。（1）画出 q 1 及 q 2 的方向；（2）比较 q 1 及 q 2 的大小；（3）比较 h 1 及 h 2 的大小（“比较”值＜、＝或＞）。[上海交通大学 2000 研]
答：（1）由图中所示，无限大平板中内部温度高，外缘温度低，所以热量方向是向两侧的，如图 2-17 所示。
（2）根据傅里叶定律 可知，如果认为无限大平壁的导热系数是常数，那么越大，则该处的热流密度越大。由图可知：
。
（3）分析边界处对流传热，根据对流传热基本计算式，可知：
，因为、 、 ，由此可得：
。
2-28
如图 2-18 所示，这是一个直径为 d，长为 l 的圆棒状伸展体一维稳定导热问题，试写出该伸展体向四周空气散热量 Φ 的微分和积分计算式，假定该伸展体温度分布用 t＝t（x）表示，材料导热系数为 λ，换热系数为 h，空气温度为 t f 。[上海交通大学 2000 研]
图 2-18 解：（1）分析长为 的圆棒状伸展体的热平衡，不妨简化为如图 2-19 所示模型。
图 2-19 因而有如下等式成立
根据热传导基本方程式 可得
此即为伸展体向四周空气的散热量的微分表达式。
（2）根据对流传热基本表达式 ，分析伸展体中 长的微元块，可知
由此可得该伸展体向四周空气的散热量的积分表达式
2-29
简述影响导热系数的因素。[东南大学 2002 研] 答：导热系数的影响因素很多，导热系数主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态，此外温度、密度、湿度等因素对导热系数也有较大的影响。其中温度对导热系数的影响尤为重要。
2-30 一个厚度为 7cm 的平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为 30℃的流体中，内热源 ＝0.3×10 6 W/m 3 。对流换热表面的传热系数为 450W/（m 2 ·K），平壁的导热系数为 18W/（m·K）。试确定平壁中的最高温度及其位置。[东南大学 2002 研] 解：本问题可以看成是常物性、稳态、具有内热源的一维稳态导热问题，因而导热微分问题可写为
解该方程可得
① 本问题的模型示意图如图 2-20 所示。
图 2-20 下面分析边界条件，由于在 处绝热，所以有下式：
。
由此可以确定：
。
在 处，根据热平衡关系有：
。
把该式代入导热微分方程可得
把 、 、 、 ℃、 代入上式，可得：
。
显然，根据①式，或者模型示意图可知，在 处 ℃ 综上平壁上在 处，最高温度为 ℃。
2-31 解释以下现象：冰箱里结霜后，耗电量增加。[东南大学 2000 研] 答：冰箱工作原理简单示意图如图 2-21 所示。
当冰箱工作时，先吸入处于低压和常温状态下的制冷剂，并压缩到高温高压的蒸汽；然后制冷剂通过蛇形管冷凝器，向外界散热，制冷剂从气体变为液体；最后制冷剂通过更细的蛇形管蒸发器，由于节流作用，制冷剂从液态变为气体，这个过程需要吸收热量。而这部分热量来自于冰箱中的食物。当冰箱结霜后，蒸发器与冷藏室中增加了传热热阻，那么如果希望冷藏室的温度保持温度，那么需要冰箱中食物向制冷剂传递更多的热量，这就要求制冷剂的温度能降得更低。根据工程热力学的相关知识，为了满足上述的要求，就需要增加压缩机功率，所以会增加耗电量。
图 2-21 2-32
半径为 的圆球，其导热率（导热系数）为 ，单位体积发热量为 ，浸在温度为 的流体中，流体与球表面间的对流换热系数为 h。求稳态时， （1）圆球内的温度分布； （2）当 ＝0.1m， ＝4.5W/（m·K）， ＝5000W/（m 3 ），h＝15W/（m 2 ·K），＝20℃时，球内的最高温度。[东南大学 2000 研] 解：（1）导热基本定律
设圆球半径 处的温度为 ，把已知条件代入上式可得
整理该式，解微分方程组可得
① 设圆球在 处的温度为 ，根据能量守恒可得
整理上式可得
把这一边界条件代入①式，可得
由此可得，圆球内的温度分布为
（2）把已知数据代入上面已经得出的温度分布方程，可得
当 时，球内的最高温度为 ℃
2-33
一长为 H，宽为 b，厚度为 δ 的铝板水平放置（ ），长度方向两端温度均为 ，底面绝热，周围空气的温度为 ，与铝板的对流换热系数为 h。设铝板的热导率为，求铝板的温度分布。[东南大学 2000 研] 解：本题的模型示意简图如图 2-22 所示。
图 2-22 由于铝板在长度方向上具有对称性，所以坐标原点建立在铝板中心，对铝板上 长度的微元块进行热平衡分析。设铝板内 处的温度为 ，令过余温度 。根据导热基本定律可知，从右侧导入微元块的热量为
从左侧导出微元块的热量为
该微元块与空气的对流换热量为
因为 ，所以有如下近似
根据热平衡可得
整理后可得
令 ，解该微分方程可得
根据已知条件可得到如下的边界条件 ，
，
把边界条件代入微分方程，可得
代入微分方程可得铝板的温度分布方程为
2-34
有个复合炉墙由三层材料组成，其中 A、C 两种材料的导热系数和厚度已知，分别为：
，
， ， ，处于中间层的材料 B 的厚度为 0.15m。稳态条件下炉墙两侧裸露表面的温度已知，分别为 ， ，炉内烟气的复合换热系数为 ，烟气温度 ，试问：
（1）材料 B 的导热系数是多少？ （2）画出该复合炉墙的热阻图，并在图上标出各个节点的温度、热流量和热阻的大小。[浙江大学 2005 研] 解：（1）设复合炉墙的热流密度为 ，则根据牛顿冷却公式，可知
通过热阻分析法，可知三层材料的总热阻为
把 ℃、 ℃、 、 、 、 、、
代入上式，计算可得
即材料 B 的导热系数为 。
（2）本问题共涉及四个环节的热阻，分别如下：
复合炉墙内侧换热面积热阻：
。
材料 A 导热面积热阻：
。
材料 B 导热面积热阻：
。
材料 C 导热面积热阻：
。
仅对材料 A 进行热阻分析法，得到传热方程式
计算可得：
℃。
仅对材料 C 进行热阻分析法，得到传热方程式
计算可得：
℃。
由此可得该复合炉墙的热阻图如图 2-23 所示。
图 2-23
2-35
试解释材料的导热系数和导温系数之间有什么区别和联系。[浙江大学 2004 研] 答：导热系数 的定义式由傅里叶定律的数学表达式给出：
。它在数值上等于单位温度梯度作用下物体的热流密度矢量的模。导热系数取决于物质的种类和温度等因素。
导温系数 又称热扩散率，定义式为：
。它是衡量材料温度变化能力大小的指标。由定义式可知，导热系数是 、 两个因子的结合。物体的导热系数 越大，在相同的温度梯度下可以传导更多的热量，材料温度变化传播得就会越迅速。此外，导温系数 还跟 有关， 越小，温度上升 所需的热量越少，可以剩下更多的热量继续向物体内部传递，能使物体内各点的温度更快地随界面温度的升高而升高。
材料导热系数与导温系数都是材料的物性参数，但是物理意义不同。
2-36
一块大平板，厚度 ＝5c...
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