导数及其应用教案

　导数及其应用

　【 知识纵横 】

　               0 0 0000001 lim12213 ,2,.14xf x x f xf xxuau u v uvv              定义：公式：①常函数，②指，③对，④幂，⑤复合函数。运算法则：① ，② ，③ ，④物理意义：瞬时速度及加速度斜率：求法有三①知两点②知倾角③求导意义：

　①在该点出的切线方程几何意义切线方程：②过某点做曲线的切线方程③知切线求参数值导数应用：

　       .2.34.f x f x         ①证明或判断单调性；单调性 ②求单调区间；③知单调，求参数范围①求极值；求两函数值 ②求最值；③知极值或最值，求参数值与 的图像关系①证明不等式；综合应用 ②比较实数大小；③讨论方程根的个数

　【 典例精析 】

　1. 导数定义的应用 例 1 如 图 ， 函 数 ( ) f x 的 图 象 是 折 线 段 ABC ， 其 中 A B C ， ， 的 坐 标 分 别 为( 0 4) ( 2 0) ( 6 4) ，，，，， ，    01 1limxf x fx  _________．

　解：由图可知       3 2 22 0 4 2x xx xx f　　　　　，根据导数的定义 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4

　知   01 1limxf x fx    2 1   f． 例２已知函数    xe c bx x x f   2,其中 R c b  , ，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若   , 1 42  c b 且 4 lim0xc x fx，试证：

　2 6    b ． 解：

　     xe c b x b x x f       22，易知   c f  0 ．故        c b fxf x fxc x fx x    000lim lim0 0，

　所以   , 1 4, 42c bc b解得 2 6    b ． 2.

　利用导数研究函数的图像高考资源网

　例 3 设 a ＜b,函数2( ) ( ) y x a x b    的图像可能是

　 解：/( )(3 2 ) y x a x a b     ，由/0 y  得2,3a bx a x  ，∴当 x a  时， y 取极大值0，当23a bx 时 y 取极小值且极小值为负．故选C．或当 x b  时 0 y  ，当 x b  时， 0 y 选 C． 点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型. 例 4 若函数 ( ) y f x  的导函数．．．在区间 [ , ] a b 上是增函数， 则函数 ( ) y f x  在区间 [ , ] a b 上的图象可能是

　A ．

　 B ．

　C ．

　 D ．

　a b a b a o x o x y b a o x y o x y b y

　解: 因为函数 ( ) y f x  的导函数．．．( ) y f x   在区间 [ , ] a b 上是增函数，即在区间 [ , ] a b上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选 A. 点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色． 3. 利用导数解决函数的单调性问题 例 5 已知函数3 2( ) 1 f x x ax x     ， aR ． （Ⅰ）讨论函数 ( ) f x 的单调区间；高考资源网 （Ⅱ）设函数 ( ) f x 在区间2 13 3    ， 内是减函数，求 a 的取值范围． 解：（1）3 2( ) 1 f x x ax x     求导得2( ) 3 2 1 f x x ax    

　当23 a  时， 0  ， ( ) 0 f x   ， ( ) f x 在 R 上递增； 当23 a  ， ( ) 0 f x   求得两根为233a ax   ， 即 ( ) f x 在233a a       ， 递 增 ，2 23 33 3a a a a         ， 递 减 ， 233a a       ， 递增。

　（2）因为函数 ( ) f x 在区间2 13 3    ， 内是减函数，所以当2 13 3x     ， 时   0 f x   恒成立，结合二次函数的图像可知203103ff            解得 2 a  ． 点评：函数在某区间上单调转化为导函数   0 f x   或   0 f x   在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在2 23 33 3a a a a         ， 上递减，所以

　223 23 33 13 3a aa a        求解． 【变式 1 1】若函数     1 121312 3     x a ax x x f 在区间   4 , 1 上是减函数，在区间    , 6上是增函数，求实数 a 的取值范围． 解：

　    12    a ax x x f ，令   0  xf 得 1  x 或 1   a x ，结合图像知 6 1 4    a ，故   7 , 5  a ． 点评：本题也可转化为     4 , 1 0    x x f ， 恒成立且         , 6 0 x x f ， 恒成立来解． 【变式 2】已知函数     0 221ln2    a x ax x x f 存在单调递减区间，求 a 的取值范围； 解：

　  .1 221) (2xx axaxxx x f       因为函数   xf 存在单调递减区间，所以  0  xf 在    , 0 上解，从而 0 1 22   x ax 有正解．高考资源网 ①当 0  a 时， 1 22   x ax y 为开口向上的抛物线， 0 1 22   x ax 总有正解； ②当 0  a 时， 1 22   x ax y 为开口向下的抛物线，要使 0 1 22   x ax 总有正解，则 0 4 4     a ,解得 0 1    a

　．

　综上所述，a 的取值范围为       , 0 0 , 1  ． 【变式 3】已知函数3 2( ) (1 ) ( 2) f x x a x a a x b      

　( , ) a bR ．若函数 ( ) f x 在区间( 1,1)  上不单调．．．，求 a 的取值范围． 解：函数 ) (x f 在区间 ) 1 , 1 ( 不单调，等价于   0  xf 在区间 ) 1 , 1 ( 上有实数解，且无重根． 又       2 1 2 32      a a x a x x f ，由   0  xf ，得32,2 1  ax a x 。从而    ,32, 1 1aaa或   .32, 1321aaa解得   ,21, 1 1aa或   ,21, 1 5aa 所以 a 的取值范围是 . 1 ,2121, 5    

　点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。

　（ （4 ）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题 例 6 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线3y x  和21594y ax x    都相切，则 a 等于

　 A． 1  或25-64

　 B． 1  或214

　 C．74 或25-64

　D．74 或 7

　解：设过 (1,0) 的直线与3y x  相切于点30 0( , ) x x ，所以切线方程为3 20 0 03 ( ) y x x x x   

　即2 30 03 2 y x x x   ，又 (1,0) 在切线上，则00 x  或032x   ， 当00 x  时，由 0 y  与21594y ax x    相切可得2564a   ， 当032x   时，由27 274 4y x   与21594y ax x    相切可得 1 a ，所以选 A . 点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点． 【变式】设 P 为曲线 C ：22 3 y x x    上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 04    ， ，则点 P 横坐标的取值范围为（

　）高考资源网 A．112    ，

　 B．  10  ，

　 C．   01 ，

　D．112   ，

　解：由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 04    ， ，可得曲线 C 在点 P 处切线的斜率范 围 为   1 0， ， 又 2 2    x y ， 设 点 P 的 横 坐 标 为0x ， 则 1 2 2 00   x ， 解 得2110    x ，故选 A ． 5. 利用导数求函数的极值与最值 例 7 已知函数2 2( ) ( 2 3 ) ( ),xf x x ax a a e x R      其中 a R 

　（1）

　当 0 a  时，求曲线 ( ) (1, (1)) y f x f  在点 处的切线的斜率；

　 （2）

　当23a  时，求函数 ( ) f x 的单调区间与极值。

　 （I）解：

　. 3 ) 1 ( " ) 2 ( ) ( " ) ( 02 2e f e x x x f e x x f ax x     ，故 ， 时， 当

　. 3 )) 1 ( , 1 ( ) ( e f x f y 处的切线的斜率为 在点 所以曲线  高考资源网 （II）

　  . 4 2 ) 2 ( ) ( "2 2 xe a a x a x x f      解：

　. 2 232. 2 2 0 ) ( "          a a a a x a x x f 知， 由 ，或 ，解得 令

　以下分两种情况讨论。

　（1）

　a 若 ＞32，则 a 2  ＜ 2  a .当 x 变化时， ) ( ) ( " x f x f ， 的变化情况如下表：

　x

　  a 2    ， a 2 

　  2 2   a a，

　2  a

　     ， 2 a

　 + 0 — 0 +

　↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ . ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 内是减函数 ， 内是增函数，在 ， ， ， 在 所以        a a a a x f

　. 3 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) (2aae a f a f a x x f     ，且 处取得极大值 在 函数

　 . ) 3 4 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) (2      ae a a f a f a x x f ，且 处取得极小值 在 函数

　（2）

　a 若 ＜32，则 a 2  ＞ 2  a ，当 x 变化时， ) ( ) ( " x f x f ， 的变化情况如下表：

　x

　  2    a ， 2  a

　  a a 2 2   ，

　a 2 

　     ， a 2

　 + 0 — 0 +

　↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 内是减函数。

　， 内是增函数，在 ， ， ， 在 所以 ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( a a a a x f       

　. ) 3 4 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 ) (2      ae a a f a f a x x f ，且 处取得极大值 在 函数

　 . 3 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) (2aae a f a f a x x f     ，且 处取得极小值 在 函数

　点评: 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

　例 8 已知函数4 3 2( ) 2 f x x ax x b     （ x R  ），其中 R b a  , ．若函数 ( ) f x 仅在 0 x 处有极值，求 a 的取值范围． 解：2( ) (4 3 4) f x x x ax     ，显然 0 x  不是方程24 3 4 0 x ax    的根． 为使 ( ) f x 仅在 0 x  处有极值，必须24 4 0 3 x ax   成立，即有29 64 0 a     ． 解不等式，得3838a    ．这时， (0) f b  是唯一极值．因此满足条件的 a 的取值范围是8 8[ , ]3 3 ．高考资源网 6. 利用导数解决实际问题 例 9 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

　解：设长方体的宽为 x （m），则长为 x 2

　(m)，高为  230 (m) 3 5 . 4412 18＜ ＜x xxh . 故长方体的体积为            230 6 9 3 5 . 4 23 3 2 2x m x x x x x V

　从而 ). 1 ( 18 ) 3 5 . 4 ( 18 18 ) (2x x x x x x V       令   0 "  x V ，解得 0  x （舍去）或 1  x ，因此 1  x . 当 1 0   x 时，   0 "  x V ；当231   x 时，   0 "  x V ，故在 1  x 处   x V 取得极大值，并且这个极大值就是   x V 的最大值，从而最大体积    3 3 21 6 1 9 " m x V V      ，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m 例 10(2009 年湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ) x x  万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元 高考资源网

　 （Ⅰ）试写出 y 关于 x 的函数关系式；高考资源网

　 （Ⅱ）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 解 （Ⅰ）设需要新建 n 个桥墩， ( 1) 1mn x mx   ，即n=

　所以

　 (2 )m mx x xx x y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x=256( -1)+

　＝ 256 2256   m x mxm．

　 （Ⅱ）

　由（Ⅰ）知  21221 256    mxxmx f ，

　 令 "( ) 0 f x  ，得32512 x  ，所以 x =64

　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

　当 0< x <64 时 "( ) f x <0，

　( ) f x 在区间（0，64）内为减函数；

　 当 64 640 x   时， "( ) f x >0. ( ) f x 在区间（64，640）内为增函数， 所以 ( ) f x 在 x =64 处取得最小值，此时，6401 1 9.64mnx    

　故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 高考资源网