第 第 1 1 章
随机事件 及其 概率
（1 1 ）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（2 2 ）基本 事件、样本空间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A A ，B B ，C C ， …表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø Ø ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事 件（Ω）的概率为 1 1 ，而概率为 1 1 的事件也不一定是必然事件。
（3 3 ）事件的关系与运算
①关系：
如果事件 A A 的组成部分也是事件 B B 的组成部分，（ A A 发生必有事件 B B发生）：
B A
如果同时有 B A ， A B ，则称事件 A A 与事件 B B 等价，或称 A A 等于 B B ：A=B 。
A A 、B B 中至少有一个发生的事件：
A A B B ，或者 A A + + B B 。
属于 A A 而不属于 B B 的部分所构成的事件，称为 A A 与 B B ， 的差， 记为 A A- -B B ，
也可表示为 A A- - AB 或者 B A ，它表示 A A 发生而 B B 不发生的事件。
A A 、B B 同时发生：
A A B B ，或者 AB 。A A B=Ø Ø ， 则表示 A A 与 与 B B 不可能同时发生，称事件 A A 与事件 B B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
- -A A 称为事件 A A 的逆事件，或称 A A 的对立事件，记为 A 。它表示 A A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：
A(BC)=(AB)C
A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪C C
分配率：
(AB) ∪ C=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C=(AC) ∪ (BC)
德摩根率： 1 1 iiii A A
B A B A ， B A B A
（4 4 ）概率的公理化定义
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 数 都有一个实数 P(A) ，若满足下列三个条件：
1 1 °
0 0 ≤ P(A) ≤1 1 ，
2 2 °
P( Ω ) =1
3 3 °
对于两两互不相容的事件 1 A ， 2 A ，…有
1 1) (iiii A P A P
则称 P(A) 为事件 A 的概率。
（5 5 ）古典概型
1 1 °
n 2 1 , ，
2 2 °
nP P Pn1) ( ) ( ) (2 1 。
设任一事件 A ，它是由m 2 1 ,组成的，则有
P(A) = = ) ( ) ( ) (2 1 m
= = ) ( ) ( ) (2 1 mP P P
nm基本事件总数所包含的基本事件数 A
（6 6 ）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，
则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A A ，
) () () (LA LA P 。其中 L L 为几何度量（长度、面积、体积）。
（7 7 ）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)- - P(AB)
当 当 B AB 不相容 P(AB) ＝0 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
当 当 B AB 独立， P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)- - P(A)P(B)
（8 8 ）减法公式
P(A- - B)=P(A)- - P(AB)
当 当 B B A A 时， P(A- - B)=P(A)- - P(B)
当 当 A= Ω时， P( B )=1- -
P(B)
（9 9 ）条件概率
定义
设 设 A A 、B B 是两个事件，且 P(A)>0 ，则称) () (A PAB P为事件 A A 发生条件下，事件 B B 发生的条件概率，记为 ) / ( A B P) () (A PAB P。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P( Ω /B)=1 P( B /A)=1- - P(B/A)
（ 10 ）乘法公式
乘法公式：
) / ( ) ( ) ( A B P A P AB P
更一般地，对事件 A A 1 1 ，A A 2 2 ，…A A n n ，若 P(A 1 1 A A 2 2 …A A n n- -1 1 )>0 ，则有
2 1 ( A A P…) n A ) | ( ) | ( ) ( 2 1 3 1 2 1 A A A P A A P A P ……2 1 | ( A A A P n…) 1 n A。
（ 11 ）独立性
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足) ( ) ( ) ( B P A P AB P ，则称事件 A 、 B 。
是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且0 ) ( A P，则有
) () () ( ) () () () | ( B PA PB P A PA PAB PA B P
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件 Ø Ø 与任何事件都相互独立。
Ø Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 设 C ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) )
那么 A A 、B B 、C C 相互独立。
对于 n n 个事件类似。
（ 12 ）全概公式
设事件n B B B , , , 2 1 满足
1 1 °n B B B , , , 2 1 两两互不相容，) , , 2 , 1 ( 0 ) ( n i B P i ，
2 2 °nii B A1 ，
则有
) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 1 n n B A P B P B A P B P B A P B P A P 。
全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题， ， 全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；
（ 13 ）贝叶斯公式
设事件 1 B ， 2 B ，…，n B 及 A 满足
1 1 °
1 B ， 2 B ，…，n B 两两互不相容，) (Bi P>0 ， i1 1 ，2 2 ，…， n ，
2 2 °
nii B A1 ，0 ) ( A P，
则
njj ji iiB A P B PB A P B PA B P1) / ( ) () / ( ) () / ( ， i=1 ，2 2 ，…n n 。
此公式即为贝叶斯公式。
) (iB P ，（1 i， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。
) / ( A B Pi，（1 i， 2 ，…，n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
将试验可看成分为两步做，如果求。
在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。
（ 14 ）伯努利概型
我们作了 n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；
n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不 影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为q p 1，用) (k P n表示 n 重伯努利试验中 A 出现) 0 ( n k k 次的概率，
k n kknn q p k PC ) (，n k , , 2 , 1 , 0 。
第二章
随机变量及其分布
（ 1 1 ）离 散型 随机 变量 的分 布律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 X X k k (k=1,2, …) ) 且取各个值的概率，即事件 (X=X k k ) ) 的概率为 P(X=x k k )=p k k ， k=1,2, …，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
, , , ,, , , ,|) ( 2 12 1kkk p p px x xx X PX。
显然分布律应满足下列条件：
（1 1 ）0 k p， , 2 , 1 k，
（2 2 ）11kk p。
（ 2 2 ）连 续型 随机 变量 的分 布密度
设) (x F是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数) (x f，对任意实数x ，有
xdx x f x F ) ( ) (，
则称 X 为连续型随机变量。) (x f称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面 4 4 个性质：
1 1 、
0 ) ( x f。
2 2 、
1 ) ( dx x f。
3 3 、211 2 2 1P( ) ( ) ( ) ( )xxx X x F x F x f x dx
4 4 、a P(x=a)=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0 0
（ 3 3 ）分 布函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
) ( ) ( x X P x F
称为随机变量 X X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
) ( ) ( ) ( a F b F b X a P
可以得到 X X 落入区间 ] , ( b a 的概率。分布函数 ) (x F 表示随机变量落入区间（ –
∞， x] 内的概率。
分布函数具有如下性质：
1 1 °
, 1 ) ( 0 x F
x ；
2 2 °
) (x F 是单调不减的函数 ，即 2 1 x x 时，有
) ( 1 x F ) ( 2 x F ；
3 3 °
0 ) ( lim ) ( x F Fx，
1 ) ( lim ) ( x F Fx；
4 4 °
) ( ) 0 ( x F x F ，即 ) (x F 是右连续的；
5 5 °
) 0 ( ) ( ) ( x F x F x X P 。
对于离散型随机变量，x xkkp x F ) ( ；
对 于连续型随机变量， xdx x f x F ) ( ) (
。
（ 4 4 ）六 大分布
0 0- -1 1 分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 n , , 2 , 1 , 0 。
k n k knn q p C k P k X P ) ( ) ( ，
其中 n k p p q , , 2 , 1 , 0 , 1 0 , 1 ，
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为) , ( ~ p n B X 。
当 1 n 时，k k qp k X P 1) ( ， 1 . 0 k ，这就是（0 0- -1 1 ）分布，所以（0 0- -1 1 ）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为
ekk X Pk!) ( ， 0 ， 2 , 1 , 0 k ，
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 ) ( ~ X 或者P( ) ) 。
泊松分布为二项分布的极限分布（ np= λ，n n →∞）。
均匀分布
设随机变量 X 的值只落在 [a ， b] 内，其密度函数) (x f在 [a ，b] 上为常数a b 1，即
, 0,1) ( a b x f
其他，
则称随机变量 X 在 [a ， b] 上服从均匀分布，记为 X X~ ~ U(a ， b)。
。
分布函数为
xdx x f x F ) ( ) (
当 当 a a ≤x x 1 1 <x 2 2 ≤b b 时，X X 落在区间（2 1 ,xx）
内的概率为
a bx xx X x P 1 22 1) ( 。
指数分布
其中0 ，则称随机变量 X X 服从参数为 的指数分布。
0，
x<a， ,a ba x
a≤x≤b
1，
x>b。
a≤x≤b ) (x f,xe
0 x, 0,
0 x,
正态分布
设随机变量 X 的密度函数为
222) (21) ( xe x f ，
x，
其中 、0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、 的正态分布或高斯（ Gauss ）分布，记为) , ( ~2 N X。
) (x f具有如下性质：
1 1 °
) (x f的图形是关于 x对称的；
2 2 °
当 x时， 21) ( f 为最大值；
若) , ( ~2 N X，则 X 的分布函数为
参数0 、1 时的 正态分布称为标准正态分布，记为) 1 , 0 ( ~ N X，其密度函数记为
2221) (xe x， x ，
分布函数为
x tdt e x2221) (。
) (x 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ( (- - x) ＝1 1- - Φ (x) 且Φ (0) ＝21。
如果 X ~ ~ ) , (2 N ，则 X~ ~ ) 1 , 0 ( N 。
1 22 1) (x xx X x P 。
（ 6 6 ）分 位数
下分位表：
＝ ) ( X P ；
上分位表：
＝ ) ( X P 。
（ 7 7 ）函 数的 分离散型
已知 X 的分布列为
, , , ,, , , ,) ( 2 12 1nni p p px x xx X PX，
) (X g Y 的分布列（ ) (i ix g y 互不相等）如下：
, , , ,), ( , ), ( ), () (2 12 1nnip p px g x g x gy Y PY，
若有某些 ) ( i x g 相等，则应将对应的ip 相加作为 ) ( i x g 的概率。
dt
e
x
F
x
t
2
2
2
)
(
2
1
)
(
布 函数
连续型
先利用 X X 的概率密度 f f X X (x) 写出 Y Y 的分布函数 F F Y Y (y) ＝ P(g(X)≤ y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出 f f Y Y (y) 。
第三章
二维随机变量及其分布
（1 1 ）联合分布
离散型
如果二维随机向量 （X X ，Y Y ）的所有可能取值为至多可列个有序对（ x,y ），则称 为离散型随机量。
设 = = （X X ，Y Y ）的所有可能取值为 ) , 2 , 1 , )( , ( j i y xj i，且事件 { { = = ) , (j iy x } } 的 概 率 为 p p ij, , , 称) , 2 , 1 , ( )} , ( ) , {( j i p y x Y X Pij j i
为 = = （X X ，Y Y ）的分布律或称为 X X 和 和 Y Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y Y
X X
y y 1 1
y y 2 2
…
y y j j
…
x x 1 1
p p 11
p p 12
…
p p 1j
…
x x 2 2
p p 21
p p 22
…
p p 2j
…
x x i i
p p i1
…
ijp
…
这里 p p ij 具有下面两个性质：
（1 1 ）
p p ij ≥0 0 （ i,j=1,2, …）；
（2 2 ）
. 1 iji jp
连续型
对 于 二 维 随 机 向 量 ) , ( Y X ， 如 果 存 在 非 负 函 数) , )( , ( y x y x f ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D D ，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d} 有
Ddxdy y x f D Y X P , ) , ( } ) , {(
则称 称 为连续型随机向量；并称 f(x,y) 为 = = （X X ，Y Y ）的分布密度或称为 X X 和 和 Y Y 的联合分布密度。
分布密度 f(x,y) 具有下面两个性质：
（1 1 ）
f(x,y) ≥ 0;
（2 2 ）
. 1 ) , ( dxdy y x f
2 2 联 合分 布 函数
设（X X ，Y Y ）为二维随机变量，对于任意实数 x,y, 二元函数
} , { ) , ( y Y x X P y x F
称为二维随机向量（X X ，Y Y ）的分布函数，或称为随机变量 X X 和 和 Y Y 的联合分布函数。
分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件} ) ( , ) ( | ) , {(2 1 2 1y Y x X 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y) 具有以下的基本性质：
（1 1 ）
; 1 ) , ( 0 y x F
（2 2 ）F F （ x,y ）分别对 x x 和 和 y y 是非减的，即
当 当 x x 2 2 >x 1 1 时，有 F F （x x 2 2 ,y ）≥ F(x 1 1 ,y);当 当 y y 2 2 >y 1 1 时，有 F(x,y 2 2 ) ≥ F(x,y 1 1 );
（3 3 ）F F （ x,y ）分别对 x x 和 和 y y 是右连续的，即
); 0 , ( ) , ( ), , 0 ( ) , ( y x F y x F y x F y x F
（4 4 ）
. 1 ) , ( , 0 ) , ( ) , ( ) , ( F x F y F F
（5 5 ）对于 ， ，2 1 2 1y y x x
P(x 1 1 <x ≤x x 2 2 ,y 1 1 <y ≤y y 2 2 )= 0 ) ( ) ( ) ( ) (1 1 2 1 1 2 2 2 y x F y x F y x F y x F ， ， ， ，
3 3 边 缘分布
离散型
X X 的边缘分布为
) , 2 , 1 , ( ) ( j i p x X P Pijji i；
Y Y 的边缘分布为
) , 2 , 1 , ( ) ( j i p y Y P Pijij j。
连续型
X X 的边缘分布密度为
； dy y x f x f X ) , ( ) (
Y Y 的边缘分布密度为
. ) , ( ) ( dx y x f y f Y
4 4 条 件分布
离散型
在已知 X=x i i 的条件下 ，Y Y 取值的条件分布为
； iiji jppx X y Y P ) | (
在已知 Y=y j j 的条件下，X X 取值的条件分布为
, ) | (jijj ippy Y x X P
连续型
在已知 y Y=y 的条件下，X X 的条件分布密度为
) () , () | (y fy x fy x fY ；
在已知 x X=x 的条件下，Y Y 的条件分布密度为
) () , () | (x fy x fx y fX
5 5 独 立性
一般型
F(X,Y)=F X X (x)F Y Y (y)
离散型
j i ijp p p
有零不独立
连续型
f(x,y)=f X X (x)f Y Y (y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二 维 正态分布
,1 21) , (2222 12 121122 1) )( ( 2) 1 ( 212 y y x xe y x f
＝0 0
随 机 变量 的 函数
若 若 X X 1 1 ,X 2 2 , , …X X m m ,X m+1 , , …X X n n 相互独立，
g h,g ：
为连续函数，则：
h h （X X 1 1 ，X X 2 2 , , …X X m m ）和 g g （X X m+1 , , …X X n n ）相互独立。
特例：若 X X 与 与 Y Y 独立，则：h h （X X ）和 g g （Y Y ）独立。
例如：若 X X 与 与 Y Y 独立，则：1 3X+1 和 和 5Y- -2 2 独立。
6 6 二 维均 匀 分布
设随机向量（X X ，Y Y ）的分布密度函数为
其他 , 0) , (1) , (D y xSy x fD
其中 S S D D 为区域 D D 的面积，则称（X X ，Y Y ）服从 D D 上的均匀分布，记为（X X ，Y Y ）～U U （D D ）。
图 图 3.2
7 7 正 态分布
设随机向量（X X ，Y Y ）的分布密度函数为
,1 21) , (2222 12 121122 1) )( ( 2) 1 ( 212 y y x xe y x f
其中 1 | | , 0 , 0 ,2 1 , 2 1 是 是 5 5 个参数，则称（X X ，Y Y ）服从二维正态分布，
记为（X X ，Y Y ）～N N （ ). , , ,2221 , 2 1
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即 即 X X ～N N （ ). ( ~ ), ,22 , 221 1 N Y
但是若 X X ～N N （ ) ( ~ ), ,22 , 221 1 N Y ， (X ， Y) 未必是二维正态分布。
8 8 函 数的分布
Z=X+Y
根据定义计算：
) ( ) ( ) ( z Y X P z Z P z F Z
对于连续型，f f Z Z (z) ＝ dx x z x f ) , (
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（2221 2 1, 。
）。
n n 。
个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
ii iC ，
ii iC2 2 2
Z=max,min(X 1 1 ,X 2 2, , …X X n n ) )
若nX X X 2 1 ,相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为) ( ) ( ) (2 1x F x F x Fnx x x ， 则 ，则 Z=max,min(X 1 1 ,X 2 2 , , …X X n n ) ) 的分布函数为：
) ( ) ( ) ( ) (2 1maxx F x F x F x Fnx x x
)] ( 1 [ )] ( 1 [ )] ( 1 [ 1 ) (2 1minx F x F x F x Fnx x x
第四章
随机变量的数字特征
（1 1 ）一维随机变量的数字特征
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设 设 X X 是离散型随机变量，其分布律为P(kx X ) ) ＝ ＝ p p k k ，k=1,2, … ,n ，
nkk k px X E1) (
（要求绝对收敛）
设 设 X X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x) ，
dx x xf X E ) ( ) (
（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g(X)
nkk kp x g Y E1) ( ) (
Y=g(X)
dx x f x g Y E ) ( ) ( ) (
方差
D(X)=E[X- - E(X)]2 2 ，，
标准差
) ( ) ( X D X
kk kp X E x X D2)] ( [ ) (
dx x f X E x X D ) ( )] ( [ ) (2
（2 2 ）期望的性质
（1 1 ）
E(C)=C
（2 2 ）
E(CX)=CE(X)
（3 3 ）
E(X+Y)=E(X)+E(Y) ， ninii i i iX E C X C E1 1) ( ) (
（4 4 ）
E(XY)=E(X) E(Y) ，充分条件：X X 和 和 Y Y 独立；
充要条件：X X 和 和 Y Y 不相关。
（3 3 ）方差的性质
（1 1 ）
D(C)=0 ； E(C)=C
（2 2 ）
D(aX)=a2 2 D(X) ；
E(aX)=aE(X)
（3 3 ）
D(aX+b)= a2 2 D(X) ；
E(aX+b)=aE(X)+b
（4 4 ）
D(X)=E(X X2 2 ) )- -E E 2 2 (X)
（5 5 ）
D(X ± Y)=D(X)+D(Y) ，充分条件：X X 和 和 Y Y 独立；
充要条件：X X 和 和 Y Y 不相关。
D(X ± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E[(X- - E(X))(Y- - E(Y))] ，无条件成立。
而 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，无条件成立。
（4 4 ）常见分布的期望和方差
期望
方差
) , 1 ( p B
p p
) 1 ( p p
) , ( p n B
np
) 1 ( p np
泊松分布) ( P
) , ( b a U
2b a
12) (2a b
指数分布) ( e
1
21
) , (2 N
2
（5 5 ）二维随机变量的数字特征
期望
nii i px X E1) (
njj j py Y E1) (
dx x xf X EX) ( ) (
dy y yf Y EY) ( ) (
函 数的 期望
)] , ( [ Y X G E ＝
i jij j ip y x G ) , (
)] , ( [ Y X G E ＝
－ －dxdy y x f y x G ) , ( ) , (
方差
ii ip X E x X D2)] ( [ ) ( jj jp Y E x Y D2)] ( [ ) (
dx x f X E x X DX) ( )] ( [ ) (2
dy y f Y E y Y DY) ( )] ( [ ) (2
协 方差
对于随机变量 X X 与 与 Y Y ，称它们的二阶混合中心矩11 为 为 X X 与 与 Y Y的协方差或相关矩，记为 ) , cov( Y XXY 或 ，即
))]. ( ))( ( [(11Y E Y X E X EXY
与记号XY 相对应，X X 与 与 Y Y 的方差 D D （X X ）与 D D （Y Y ）也可分别记为XX 与YY 。
相 关系数
对于随机变量 X X 与 与 Y Y ，如果 D D （X X ）
>0, D(Y)>0 ，则称
) ( ) ( Y D X DXY
为 为 X X 与 与 Y Y 的相关系数，记作XY （有时可简记为 ）。
| | | | ≤1 1 ，当| | 1 |=1 时，称 X X 与 与 Y Y 完全相关：
1 ) ( b aY X P
完全相关 ， 时 负相关，当， 时 正相关，当) 0 ( 1) 0 ( 1aa
而当 0 时，称 X X 与 与 Y Y 不相关。
以下五个命题是等价的：
① 0 XY ；
② cov(X,Y)=0;
③ E(XY)=E(X)E(Y);
④ D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤ D(X- - Y)=D(X)+D(Y).
（6 6 ）协方差性质
(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X 1 1 +X 2 2 , Y)=cov(X 1 1 ,Y)+cov(X 2 2 ,Y);
(iv) cov(X,Y)=E(XY)- - E(X)E(Y).
（7 7 ）独立和不相关
（i i ）
若随机变量 X X 与 与 Y Y 相互独立，则 0 XY ；反之不真。
（ ii ）
若（X X ，Y Y ）～N N （ , , , ,2221 2 1），
则 则 X X 与 与 Y Y 相互独立的充要条件是 X X 和 和 Y Y 不相关。
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