概率统计习题
习题一 一填空题 （1）设 C B A , , 为三事件，试用 C B A , , 的运算表示下列事件：
C B A , , 中不多于两个发生：
, C B A C B A , , 中至少有两个发生：
BC AC AB
或 ABC BC A C B A C AB
（2）设 , ,B A 为二事件，试用 , ,B A 的运算非别表示下列事件及其对立事件：
, ,B A 都发生：
, AB 其对立事件为, AB B A
（2）设 , ,B A 为二事件，则 0 )} )( )( )( {( B A B A B A B A P
注0 } { )} )( {()} )( )( {()} )( )( )( {()} )( )( )( {( P B A A B B A PB A B A B B A PB A B A B A B BA B A PB A B A B A B A P （4）设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为51。
注：1A ：两件均不合格，2A ：一件合格，两件中有一件是不合格品即2 1A A ；
两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即1A ，故 516 4 66) ()) ( ()) ((161424422 12 1 12 11 C C CCA A PA A A PA AAP P （5）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数，写出该试验的样本空间。{10，11，……} （6）假设 7 . 0 ) ( , 4 . 0 ) ( B A P A P ，若 A 与 B 互不相容，则 3 . 0 ) ( ) ( ) ( A P B A P B P ，若 A 与 B 相互独立，则5 . 0 ) ( ), ( 4 . 0 4 . 0 7 , 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B P B PB P A P A P B A P B P 2 甲乙丙三人各射一次靶，记 A “甲中靶”； B “乙中靶”； C “丙中靶”则用上述三事件的运算非别表示下列事件 （1）
甲未中靶：
A ； （2）
甲中靶而乙未中靶 B A
（3）
三人中只有丙未中靶：
C AB
（4）
三人中恰好一人中靶：
C B A C B A C B A
（5）
三人中至少一人中靶 C B A
（6）
三人中至少一人未中靶 C B A
（7）
三人中恰好两人中靶：
C B A BC A C AB
（8）
三人中至少两人中靶 AC BC AB
（9）
三人中均未中靶：
C B A
（10）
三 人 中 至 多 一 人 中 靶C B A C B A C B A C B A
（11）
三人中至多两人中靶 C B A ABC
3 20 个运动队，任意分成甲乙两组（每组 10 队）进行比赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队：
（1）
被分在不同组的概率， A ；（2）被分在同一组的概率。
B
526 . 0 ) (102091812 CC CA P
474 . 02) (102081822 CC CB P
或：因 , A B 故474 . 0 526 . 0 1) ( 1 ) ( 1 ) ( A P B P B P 4 从一批由 45 件正品，5 件次品组成的产品中任取 3 件，求其中恰有一件次品的概率。
252 . 035024515 CC CP
5 在长度为 a 得线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
, 0 , 0 a y a x 且 a y x 0 ，又 41222,, Payaxay xy x a x yy x a y xy x a y x 6 在区间 ) 1 , 0 ( 内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
a
a
2a 2a x
41 xy
41 1
1
x
4 ln4141)41(4 ln41411 ) ln41(1)411 ()41(141141 xy Px xdxxxy P7 电路由电池组 A 与两个并联的电池组 C B及 串联而成，设电池组 C B A , , 损坏的概率分别为 2 . 0 . 2 . 0 . 3 . 0 ，求电路发生断电的概率是多少？（ C B A , , 为相互独立工作的电池组）
设 C B A , , 分别表示电池组 C B A , , 损坏，电路发生断电可表示为 BC A ，故 328 . 0 7 . 0 2 . 0 3 . 0) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (2 A P C P B P A PC P B P A P C P B P A PABC P BC P A P BC A P 7 设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为 8 . 0 ，活到 25 年以上的概率为 4 . 0 ，问现在 25 岁的这种动物，它能活到 25 年以上的概率为多少？ 5 . 08 . 04 . 0} 20 P{} 25 20 {} 20 / 25 { 岁以上 活到岁以上 岁以上，且活到 活到去岁以上 活到 岁以上 活到PP
8 某地区历史上从某年后 30 年内发生特大洪水的概率为80 ％，40 年内发生特大洪水的概率为 85 ％，求已过去了 30 年发生特大洪水的地区在未来 10 年内发生特大洪水的概。
: X 发生特大洪水的时刻。
25 . 02 . 005 . 0} 30 {} 40 30 , 30 {}3040 30{ X PX X PXXP 10 发报台分别以概率 0.6，0.4 发出信号“.”与“__”,由于通讯系统受到干扰,当发出信号“.”收 报台收报台未必收到信号“.”,而是分别以概率 0.8 与 0.2 收到信号“.”与“__”,, 当发出信号“__”时 ,收报台分别以概率 0.9 与 0.1收到信号“__”与“.”,求收报台收到信号“.”, 发报台确实发出信号“.”的概率,以及收到信号“__”, 发报台确实发出信号“__”的概率. :1A 发出信号“.”
:2A 发出信号“__”
:1B 收到信号“.”;
:2B 收到信号“__” 由题设:1 . 0 ) / ( , 4 . 0 ) (, 8 . 0 ) ( , 6 . 0 ) (2 1 21 1 1 A B P A PA B P A P于是: 52 . 0 1 . 0 4 . 0 8 . 0 6 . 0) / ( ) ( ) / ( ) ( ) (2 1 2 1 1 1 1 A B P A P A B P A P A P 由贝叶斯公式有: 903 . 0) () / ( ) () / (11 1 11 1 B PA B P A PB A P
又由: 9 . 0 ) / ( , 2 . 0 ) (2 2 1 2 A B P A B P 于是: 46 . 0 9 . 0 4 . 0 2 . 0 6 . 0) / ( ) ( ) / ( ) ( ) (2 2 2 1 2 1 2 A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有: 75 . 0) () / ( ) () / (22 2 22 2 B PA B P A PB A P
11 设袋中有 a 个黑球， b 个白球，现随机地从中取出一球，分别就（1）抽取后放回，（2）抽取后不放回，求出第) 1 ( b a k k 次取出的一个球是黑球的概率。
（1）b aaP
（2）
b aak b a b a b ak b a b a ak b a Ak b a A k aPkb akb a ) 1 ( ) 1 )( (] 1 ) 1 ( ) 1 [( ) 1 (() 1 1 (11个 个球中取个 个球中取 （ 次取出黑球）
第 12 甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的 25％，35％，40％，若每个车间成品中的次品率分别占产量的 5％，4％，2％， （1）
全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是多少？ （2）
全部产品中任意抽出恰好是次品 ，试问这个次品是甲车间生产的概率是多少
（1）3 2 1, , A A A 分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。
: B 抽出的一个是次品 035 . 0100210040100410035100510025) / ( ) ( ) (31 iiiA B P A P B P （3）
由贝叶斯公式有: 362 . 0045 . 0100510025) () / ( ) () / (1 11 B PA B P A PB A P
13 10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第 n 次才取出 n k k 1 ( 次红球的概率。
k r n knk k n knC C )101( )109( )101( )109(101111 11
14 灯泡使用寿命在 1000 小时以上的概率为 0.2，求 3个使用 1000 小时后，最多只有一只坏了的概率。
记 P=P{灯泡使用在 1000 小时以上完好}
X: 3 个使用 1000 小时后坏了的只数。
则 X～ ) 8 . 0 , 3 ( b
104 . 0 2 . 0 13 4 2 . 0 3 2 . 02 . 0 8 . 0 2 . 0 8 . 0 ) 1 (3 3 32 133 0 03 C C X P 15 某人有两盒火柴，每盒中各有 n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有 r 根的概率。
r nnr nC2221 注：可看作 r n 2 重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为21，取了第二盒中一根火柴的概率也为21，设所求事件为 B ，则 B相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了 n 根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了 r n 根火柴，”的事件，故 r nnr nr n n nr nC C B P 22 221)21( )21( ) (
习题二 1 填空题 （ 1 ）
设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 2 , 1 , 0 (!} { kka k X Pk）则 e a
（ 2 ）
设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 2 , 1 , 0 ( } { kNak X P ）则 1 a
（3）一均匀骰子在重复掷 10 次后，X 表示点 3 出现的
次数，则 X 服从：参数为 )61, 10 ( b 的二项分布，分布律为 10 2 , 1 , 0 ( )65( )61( } {1010 k C k X Pk k k）
（4）设随机变量 X 的概率密度为 , 0, 1 0 , 2) (x xx f ，Y 表示对 X 的三次重复观察中事件21X 出现的次数，则64943161343)41( } 2 {2 23 C Y P
（5）已知 X～ ) , (2 N ,则 XY ～ ) 1 , 0 ( N
2 报童卖报，每份 0.15 元，其成本为 0.10 元，报馆每天给报童 1000 份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设 X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。
{报童赔钱}={0.15X<100}
666151066615 . 0100 X X
3 设在 15 只同类型的零件中有两只次品，在其中取 3次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，（1）求 X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
3512} 1 {31521312 CC CX P
351} 2 {31511322 CC CX P
3522} 2 { } 1 { 1 } 0 { X P X P X P
4 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 P ，失败的概率为 P q 1 ， （1）将试验进行到出现一次成功为止，以 X 表示所需的试验次数，求 X 的分布律。
（2）将试验进行到出现 r 次成功为止，以 Y 表示所需的试验次数，求 Y 的分布律。
（1）第 X 次成功，前 X-1 次全失败。
, 2 , 1 ) 1 (] ) 1 ( [ } {11 0 11 k p pp p p C k X Pkk kk （2）第 Y 次成功，前 Y-1 次成功 r-1 次。
, 1 ,) 1 ( } {1 11 r r kp p p C k Y Pr k r rk 5 设随机变量 X 的分布函数 1 , 11 0 ,0 , 0) (2xx xXx F ，试求（1）
}21{ ) 3 ( },431 { ) 2 ( }21{ X P X P X P
43}21{ 1 }21{ ) 3 ( ,169) 1 ( )43( }431 { ) 2 (41)21( }21{ X P X PF F X PF X P 6 有一繁忙汽车站，每天有大量汽车通过，设每两汽车在一天的某时段内出事故的概率为 0.0001，在某天该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少？（利用泊松定理计算）
1 . 0 np
004 . 0 1 . 0 1} 1 { } 0 { 1 } 2 {1 . 0 1 . 0 e eX P X P X P 7 …在 t 时间间隔内收到紧急呼救的次数 X 服从参数为2t的泊松分布，…… （1）…中午 12 点至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率。
（1）…中午 12 点至下午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率。
（1）参数为23) 3 (2 tt在 3 小时内收到 k 次呼救的
概率为：220 . 0 } 0 {, 2 , 1 , 0 ,!)23(} {2323 e X Pkkek X Pk
（1）参数为25) 5 (2 tt
918 . 0 ,! 0)25(1 } 0 { 1 } 1 {250 eX P X P
8 一台仪器在 10000 工作时内平均发生 10 次故障，试求在 100 作时内故障不多于两次的概率。
001 . 0 p ，（每个工作时内发生故障的概率）
X：100 作时内发生故障的次数， X ～ ) 001 . 0 , 100 ( b
99984 . 0! 21 . 0! 11 . 0! 0001 . 0 999 . 0001 . 0 999 . 0 999 . 0} 2 { } 1 { } 0 { } 2 {1 . 021 . 01 . 0 1 . 02 98 210099 1100100 0100 e eeCC CX P X P X P X Pnp
9 设 X～ ], 5 , 2 [ U 现对 X 进行 3 次独立观察，试求至少有两次观察值大于 3 的概率。
322 53 5} 3 { X P
Y 表示对 X 进行 3 次独立观察，观察值大于 3 的次数，则
Y～ )32, 3 ( b ， 272027894)32(31)32( } 3 { } 2 { } 2 {3 332 23 C C Y P Y P Y P10 设随机变量 X～, 0, 1 ,1) (2xxcx f 求：（1）常数 c,(2)X 的分布函数 ) (x F ，（3）X 落在区间 )21,21( 的概率。
（1）
因 1carctan1) ( 111112 故c x cxdxc dx x f , 0, 1 ,11) (2其他xxx f （2）
当 1 X 时 , 0 ) x ( F
当 1 X 1 时， 21arcsin1arctan11) (1 12 x xtdtx Fx x 当 X 1 时：
1 arctan101) (11 1112 x dttdtx Fx （3）31]21)21arcsin(1[ )2121arcsin1()21( )21( )2121{ F F X P 11 …服务时间 X 服从指数分布，其概率密度为 其他 , 00 ,51) (5x ex fx，某顾客等待服务，若超过 10 分钟，他就离开，他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，求 Y 的分布律，并求 } 1 { Y P . 等待 1 次离开的概率为：
10210551) ( } 10 { e d e dx x f X Px Y～ ), , 5 (2 e b
) 5 , , 1 . 0 ( ) 1 ( } {5 2 25 k e e C k Y Pk k k5167 . 0 ) 1 ( 1 } 0 { 1 } 1 {5 2 e Y P Y P
12 X～ ) 2 , 3 (2N （1）求} 3 { }, 2 {}, 10 4 { }, 5 2 ( X P X PX P X P （2）求 , c 使得 } { } { c X P c X P
（ 1 ）
5238 . 0 )21( ) 1 ( )23 2( )23 5( } 5 2 { X P
9396 . 0 1 )27( 2 )27( )27()23 4( )23 10( } 10 4 { X P 6997 . 0 )25( )21( 1 } 2 2 { 1 } 2 { X P X P
5 . 0 ) 0 ( 1 } 3 { 1 } 3 { X P X P
由 } { } { c X P c X P 得 )23( }2323{ } {21 c c XP c X P ， 又 3 ), 0 (21 c 故
13 寿命 X 服从 , 60 的正态分布，若要求80 . 0 } 200 120 { X P ， 最 大 为 多少？
）
（查1.28 90 . 0 )40( , 80 . 0 1 )40( 2)160 120( )160 200( } 200 120 { X P 故 最大为 31.25。
14 随机变量 X 的分布律为：
X -2 -1 0 1 3 kP
51 61 51 52 301
求2X Y 的分布律。
Y 的所有可能取值为 0，1，4，9，有概率的可加性，有：
2X Y
4 1 0 1 9
X -2 -1 0 1 3 kP
51 61 51 52 301 得2X Y 的分布律为 2X Y
0 1 4 9 kP
51 307 51 301
15 设 X～xe Y N 求 ) 1 ( ), 1 , 0 ( 的概率密度，（2）求 1 22 X Y 的概率密度，
} , max{, 0 } , min{ ,1) (, ln ) ( ) ( , 0 ) () ( ) 1 (e ee eyy hy y h x x g e x ge x g Yxx有反函数， 且 有）上恒 ， 在（
故 Y 的概率密度, 0 , 00 ,21) (2) (ln2yy eyy fyY (2)因 0 1 22 X Y ，则 ) 1 ( , 0 ) ( y y F y ， 当 1 Y 时， 1 , 0, 1 ,) 1 ( 21) (21221}2121{ } 1 2 { ) (41021022121222 2yy eyy fdx e dx eyXyP y X P y FyYyxyyxy 习题三 1. 离 散 随 机 变 量 Y X与 相 互 独 立 同 分 布 ，,21} 1 { } 1 { Y P X P .21} 1 { } 1 { Y P X P 求} { Y X P 的概率.
.21) (} 1 , 1 { } 1 , 1 { } { 已知独立Y X P Y X P Y X P.
即使两个离散随机变量 Y X与 相互独立同分布, Y X与一般不会以概率 1 相等.
（2）设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度 其他， , 0, 1 ,) , (2 2y x y cxy x f ，则 。421C
（ 3 ）
X 和 Y 是 相 互 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 ， 且,21} 1 { } 1 { Y P X P ;21} 2 { } 2 { Y P X P 求Y X Z 的概率分布. ,41} 2 { Y X P
} 2 { } 1 { } 3 { Y P X P Y X P21} 1 , 2 { Y X P ,,41} 4 { Y X P
（2）由已知易得 ,21} 2 2 { X P
;21} 4 2 { X P
2.在一只箱子中有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量 X , Y 如下：
,1, 0若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品，X
;1, 0若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品，Y
试分别就（1）、（2）两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律．并问随机变量 X 和 Y 是 否相互独立？
（1）放回时，
,365} 1 , 0 { ,3625} 0 , 0 { Y X P Y X P
,365} 0 , 1 { Y X P ,361} 1 , 1 { Y X P
（2）不放回抽样， ,6610} 1 , 0 { ,6645} 0 , 0 { Y X P Y X P
,661} 1 , 1 { ,6610} 0 , 1 { Y X P Y X P
放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立． 3 设 随 机 变 量 ) , ( Y X 的 联 合 密 度 其他， , 04 2 , 2 0 ), 6 () , (y x y x ky x f
试求（1）常数 k ；（2）
}; 3 , 1 { Y X P
}; 5 . 1 { ) 3 ( X P } 4 { ) 4 ( Y X P
（1）因81, 1 8 ) 2 6 () 2 122( ) 6 (20204222042 k k dx x kdx xyk dydx y x k 83) 62(81) 6 (81} 3 , 1 { ) 2 (103221032 dx xydydx y x Y X P 3227875 . 6) 2 6 (81) 2 62(81) 6 (81} 5 . 1 { ) 3 (5 . 105 . 104225 . 1042 dx x dx xydydx y x X P
32)26 (81) 6 (81) , ( } 4 { ) 4 (4240242404240 dy yxxx dx y x dydx y x f dy Y X Py yy 4.随机变量 ) , ( Y X 在矩形域 d y c b x a , 上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量 X及 Y 是否独立？ 解 按题意 ) , ( Y X 具有联合概率密度
. , 0, , ,) )( (1) , (否则d y c b x ad c a b y x f b x a xb x aa b x f X, 0,1) ( ,
d y c yd y cd c y f Y, 0,1) ( , X 及 Y 是独立的. 事实上,若 ) , ( Y X 服从区域 D 上的均匀分布，则只有当D 为矩形区域：
d y c b x a , 时， X 与 Y 分别服从] , [ ], , [ d c b a 上的均匀分布，且 X 与 Y 独立，反之亦然. 5 一仪器由二个部件构成，以 X 和 Y 分别表示二个部件的寿命（ 单 位 ：
千 小 时 ）， 已 知 X 和 Y 的 联 合 分 布 函 数 其他， , 00 , 0 , 1) , () ( 5 . 0 5 . 0 5 . 0y x e e ey x Fy x y x （1）
X 与 Y 是否独立？
（2）两个部件的寿命都超过 100 小时的概率
（ 1 ）
X 和 Y 的 分 布 函 数 分 别 为 其他， , 0, 0 , 1) , ( ) (5 . 0x ex F x FxX 其他， , 0, 0 , 1) , ( ) (5 . 0y ey F y FyY 由于 ) ( ) ( ) , ( y F x F y x FY X ，故独立。
1 . 0 05 . 0 05 . 0)] 1 . 0 ( 1 )]{ 1 . 0 ( 1 [} 1 . 0 { } 1 . 0 {} 1 . 0 , 1 . 0 { ) 2 ( e e e F FY P X PY X PY X 6 （1 1 ）求第二题中 X 和 Y 的边缘分布，（2）
X 与 Y 是否独立？ （1 1 ）由 10} , { } {kk Y i X P i X P
10} , { } {kj Y k X P j Y P 知，放回与不放回的情形都是：
放回， X与 Y 独立；不 放回， X 与 Y 不独立；
7 随 机 变 量 ) , ( Y X 的 分 布 函 数 为X X
0 0
1 1
kP
65
61
Y Y
0 0
1 1
kP
65
61
) , ( y x F = )3arctan )(2arctan (12yCxB . 求：（1）
) , ( Y X 的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量 X 及 Y 是否独立？ 解
由 分 布 函 数 的 性 质 有) , ( x F =0 , 0 ) , ( y F ) , ( F =1 从而对任意的 y x, ；有 0 )2)(2arctan (12 CxB ， , 0 )3arctan )(2(12 yC B于是，有2 B ，2 C
) 9 )( 4 (6) , (2 2 2y xy x f ) 4 (2) (2xx f X，) 9 (3) (2yy f Y
独立。
8 设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度函数为 ) , ( y x f = ,, 00 , 1 0 ), 2 ( 8 . 4 其它x y x x y
求边缘概率密度. 解
对任意 1 0 x ，
) 2 ( 4 . 2 ) 2 ( 8 . 4 ) , ( ) (20 0x x dy x y dy y x f x fx xX 当 0 x 或 1 x 时 0 0 ) (0 dy x fxX, 对 任 意1 0 y ， 1 21) 4 3 ( 4 . 2 ) 2 ( 8 . 4) , ( ) (yyYy y y dx x ydx y x f y f， 可知边缘概率密度为：
其它 , 01 0 ), 2 ( 4 . 2) (2x x xx f X
., 01 0 ), 4 3 ( 4 . 2) (2 其它y y y yy f y
9.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为0 , 00 ,) (tt tet ft，设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度.
iX 表第 i 周的需求量，各iX 相互独立。
设两周的需求量为2 1X X Z ，则 1 1 11 1 1) ( ) () , ( ) (2 1dx x z f x fdx x z x f z fX XZ 要 111 1, 0, 0 ) ( ) (2 1x zxx z f x fX X 而, ) () ( ) ( ) (1 1) (1 1 1 11 12 1zx z xX Xe x z xe x z e x x z f x f 故) 0 ( ,6)3 2( ) ( ) (231211 1 10 z ezexz xdx e x z x z fzz z zZ
故0 , 00 ,! 3) (3zze zz fzZ 10.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从) 400 , 160 ( N 分布，随机的选取 4 只，求其中没有一只寿命小于 180 小时的概率.
设iX 为 选 取 的 第 i 只 电 子 管 的 寿 命 ， 则iX ～) 20 , 160 (2N . 4 , 3 , 2 , 1 i
令 } , , , min{4 3 2 1X X X X Y 则 } 180 {Y P [ } 180 {1 X P ]4，而 1587 . 0 ) 1 ( 1 } 180 {1 X P
因此 000634 . 0 } 180 { Y P
11.设随机变量 Y X, 相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀 分 布 ， 记 事 件 } { a X A . }, { a Y B 且,97) ( B A P 求常数 a
4) 3 )( 1 (123212321) ( ) ( ) ( ) ( ) (97 a a a a a aB P A P B P A P B A P 37350 ) 7 3 )( 5 3 ( , 0 35 36 99243 4,43 4122 2 a or aa a a aa a a a
习
题
四
1 填空：
（1）．设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且}, 2 { } 1 { X P X P 求 . 2 ) ( , 2 ), ( X D X E
（2）设随机变量nX X X , , ,2 1 独立同分布，期望为 a ，方差2 ，令 nii nXnX11，则naX D a X En n2) ( , ) (
（3）设随机变量3 2 1, , X X X 独立，1X 在[0.6]上服从均匀分布，2X 服从 ) 2 , 0 (2N ，3X 服从参数为 3 的泊松分布，记3 2 13 2 X X X Y ，则 46 3 9 4 4 3) ( 9 ) ( 4 ) ( ) (3 21 X D X D X D Y D 2 产品次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次，每次随机的抽取10 件产品进行检验，若发现其中的次品数多于 1，就去调整设备，以 X 表示一天中调整设备的次数，求 E(X),(设各产品是否次品是相互独立的) 设：Y: 取 10 件进行检验的次品数, ) 1 . 0 , 10 ( b Y
否则 ，， 次品数大于 次检验要调整设备，即 第01 , 1 iX i 则
,41iiX X)} 0 ( 0 } 1 ( 1 { 44 ) ( ) (41 i iiiiX P X PEX X E X E 而 } 1 { ) 0 ( 1 ) 1 ( Y P Y P X Pi 10 i10109 . 0 1 . 0 1 } P{1 } 0 { 1i i iC P 次品 次品2638 . 0 73616 . 0 1 ) 9 . 0 9 . 0 ( 19 10
故 0556 . 1 2636 . 0 4 EX
5．一工厂生产的某种设备的寿命 X (以年计)服从指数分布，概率密度为. 0 , 0, 0 ,41) (4xx ex fx工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100 元，调换一台设备厂方需化费 300 元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
: A 售 出 设 备 一 年 内 调 换 ， : Y 表 示 调 换 费 用 。
则 ： 10414, 141) ( e dx e A Px kk kp y Y E ) 100 ( ) 100 ( = 64 . 33 ) 1 ( 200 1004141 e e （元）
6．设 ) , ( Y X 的分布律如下表:
（1）求 ) ( ), ( Y E X E ，（2）设XYZ ，求 ); (Z E （3）设, ) (2Y X Z 求 ). (Z E
（1）
Y X, 的边缘分布见上表，故：
, 2 4 . 0 3 2 . 0 2 4 . 0 1 EX
0 3 . 0 1 3 . 0 1 EY
（2）1511 . 0310311 . 0212 . 011 i jijijPXYEZ （3）
5 ) (2 i jij j iP y x EZ
7 ． 随 机 变 量 X 服 从 几 何 分 布 ， 其 分 布 律 为, , 2 , 1 , ) 1 ( } {1 k p p k X Pk其中 1 0 p 是常数.求). ( ), ( X D X E
) (X E = 11) 1 (kkp q p kq
X
Y
1 2 3 } {jy Y P
-1 0.2 0.1 0.0 0.3 0 0.1 0.0 0.3 0.4 1 0.1 0.1 0.1 0.3 } {ix X P
0.4 0.2 0.4 1
= ) (3 2 q q q p =qqp1= .1p
) (2X E = 1 11 2) (k kk kkq p p q k
= ] )11( [ ] ) ( [1 qq p q q pkk =2) 1 ( qqp2 421) 1 () 1 ( 2 ) 1 (pqqq q qp
其中“′”表示对 q 的形式导数. 2) (pqX D ， . 2 ) ( , 2 ) ( X D X E
11
设随机变量 X 服从指数分布：, 0 , 0, 0 ,) (xx ex fx当当其中 . 0 求 ) ( ) 2 ( ), 2 ( ) 1 (2Xe E X E. 解 02 ) 2 ( dx e x X Ex 2 20 00 dx e xe xdex x x 31) (03 2 dx e e Ex X 12 设 随 机 变 量 X 服 从 瑞 利 分 布 ， 其 概 率 密 度 为
. 0 , 0, 0 ,) (2222xx exx fx其中 , 0 是常数.求 ). ( ), ( X D X E
2 42 )2( 2) (0)2(0202020222222222222 xd edx e xexde dx exX Exx xx x，202222022202022022022322 2 )2( 2) (222222222222 x xx xx xexd edx e e xde x dx exX E2)22 ( DX
13 设nX X X , , ,2 1 独立同分布随机变量，期望为 ，方差2 ，令niiXnX11212) (11niiX XnS ， （ 1 ）
验 证naX D X E2) ( , ) ( （ 2 ）
验 证
212 211niiX n XnS （ 3 ）
验 证2 2) ( S E （ 1 ） niinnnX DnX D1222 21) (1) (
nii iniiX X X XnX XnS122 212) 2 (11) (11) 2 (
niiX n X n Xn1222 [11= ] [11212 nii X n Xn （3）
)] ( ) ( [11) (212 2niiX nE X EnS E
] ) ( [ ) ( [ {11212 nii iX E X D n EX DXn 2 2122] [ ] ) ( [ {11 inii iDXnn EX DXn
习题五 3．对敌人的防御阵地进行 100 次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有 180 颗到 220 颗炸弹命中目标的概率. 第 k 次轰炸命中目标的次数为 ) 100 , , 2 , 1 ( k Xk,则kX 独立同分布,且 69 . 1 , 2 ) (2 kX E ,命中的总
次数 1001 kkX X ,nn Xkk 1001(近似)～ ) 1 , 0 ( N , } 220 180 { X P 8759 . 0 )1320( )1320(
4．设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率．
设老人死亡数为 , X 017 . 0 , 10000 p n ，公司亏本当且仅当 , 10000 40 2000 X 即 200 X ，于是，) , ( npq np N X ， 亏本的概率：
01017 . 0 ) 321 . 2 ( 1 )) 1 (200( 1 } 200 { P npnpX P ． 5．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望 (未知），方差 4002 .为了估计 ，随机地取 n 只这种器件，在时刻0 t 投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命为 nkk nXnX X X X12 11, , , , 以 作为 的估计.为了使, 95 . 0 } 1 { X P 问 n 至少为多少？
95 . 0 }1{ , 95 . 0 } 1 {1 n nnn XP X Pnii
95 . 0 ) ( ) ( 95 . 0 } {1 n n nnn XPnii1537 , 64 . 1536 20 96 . 1 , 96 . 1201.96 975 . 0 )20( , 95 . 1 ) ( 22 2 n nnn n）
（查 六 习题
1 填空题 1 设总体 X～nX X X N , , , ), , (2 12 是来自总体 X 的样本，则随机变量 X ～ ), , (2nN22) 1 (S n ～ ) 1 (2 n ， nSX ～ ) 1 ( n t
（2）在正态总体 ) 3 , 20 ( N 中抽取 2 个独立样本，样本均值 分 别 为 Y X, ， 又 样 本 容 量 分 别 为 10 ， 15 ， 则6774 . 0 } 3 . 0 { Y X P
注：
X ～ ),103, 20 ( N Y ～ ),153, 20 ( N Y X, 独立。
0 ) ( Y X E ，21153103) ( Y D X D Y X D
故 } 3 . 0 { Y X P
6774 . 0 ) 2 3 . 0 ( 2 } 2 3 . 021{ 1 [ 2} 2 3 . 021{ } 2 3 . 021{ Y XPY XPY XP （3）在正态总体 ) , (2 N 中抽取 16 个独立样本，2, 均未知，2S 为样本方差，则 99 . 0 } 041 . 2 {22 SP
注：99 . 0 01 . 0 1 } 615 . 3015{ 1} 041 . 2 1515( } 041 . 2 {) 15 (2222222 查SPSPSP 2 设总体nX X X , , ,2 1 是来自总体 ) (2n 的样本，求变量样本均值 X 的数学期望与方差。
由于nX X X , , ,2 1 是来自总体 ) (2n 的样本，故 n X D n X Ei i2 ) ( , ) ( ， niin n nnX EnX E11) (1) ( ， niin nnX DnX D12 22 21) (1) (
5 X～ Y N ), , (21 ～ ), , (22 N 从 2 总体中抽样本，得下列数据：
7 . 116 , 54 , 721 1 S X n
； 7 . 85 , 42 , 822 2 S Y n ，求 } 5 . 7 8 . 0 {2 1 P
解：2 总体方差相等，故2 12 11 1) (n nSY Xtw ～ ) 2 (2 1 n n t ，其中：2) 1 ( ) 1 (2 122 221 1 n nS n S nS w ，又 12 42 54 Y X ， 518 . 08191 1 12 1 n n 0 . 10137 . 85 7 7 . 116 6 wS ，所以 } 5 . 7 8 . 0 {2 1 P} 16 . 2 { } 869 . 0 { } 16 . 2 869 . 0 {}10 518 . 08 . 0 121 1) (10 518 . 05 . 7 122 12 1 t P t P t Pn nSY XPw 查表：
16 . 2 ) 13 ( , 870 . 0 ) 13 (025 . 0 20 . 0 t t ，故 175 . 0 025 . 0 20 . 0 } 5 . 7 8 . 0 {2 1 P
6 总体 X～nX X X N , , , ), , (2 12 是来自总体 X 的样本，（1）求nX X X , , ,2 1 的联合概率密度。（2）求 X 的概率密度。
（1）2122) (21 niixne （2）22) ( 2) (21nxen
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