第二学期微积分B试卷A答案

　北 北

　京

　交

　通

　大

　学 2010-2011 学年第 二 学期分 《微积分 B》 》 期末 考试试卷(A) 考试方式：

　闭 卷

　 任课教师：

　学院_____________

　专业___________________

　班级____________ 学号 _______________

　 姓名 _____________

　题号

　一 一 二 二 三 三 四 四 五 五 六 六 七 七 八 八 九 九 十 十 总分 得分

　 阅卷人

　 请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！

　一、

　题 填空题（每题 3 分，共 共 15 分）

　1、旋转曲面2 2z x y   在点   1,2,5 处的法线方程为1 2 52 4 1x y z     2、设 L 为半圆2 2 2 ,0, x y r x    则  2Lx y ds  32r . 3、设  是球面2 2 2 2x y z a    被平面   0 z h h a    截出的顶部，则 zdS 2 2a a h  

　4、设  21, 0,1 , 0xf xx x       ，则其以 2  为周期的傅里叶级数在 x   处收敛于22 5、函数2u xy z  在点   1, 1,2 P  处的方向导数的最大值等于 21

　题 二、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）

　1、 函数 u xyz  在附加条件  1 1 1 10, 0, 0, 0 x y z ax y z a       下的极值等于 A . (A) 327a ，（B）39a ，（C）33a ，（D）3a . 2、设函数   , f x y 连续,则二次积分  1sin2,xdx f x y dy 等于 B .

　(A)  10 arcsin, ,ydy f x y dx  （B）

　 10 arcsin,ydy f x y dx   （C）

　 1 arcsin02, ,ydy f x y dx （D）

　 1 arcsin02, .ydy f x y dx  3 、 设 二 元 函 数   , f x y 在 点   0,0 处 的 某 邻 域 内 有 定 义 , 且 有   2 2 00, 0,0lim 0,xyf x y fx y则下列结论不正确的是 D

　（A）

　  , f x y 在   0,0 处连续,（B）

　  , f x y 在   0,0 处偏导数存在, （C）

　  , f x y 在   0,0 处可微，（D）

　  , f x y 在   0,0 处沿某方向 l 的方向导数不存在. 4、设级数211sin ,nn nn 其中  为常数,则下列结论正确的是 C

　(A)当  为整数时,级数发散,（B）当  为整数时,级数绝对收敛, (C）当  为整数时,级数条件收敛,（D）当  不为整数时,级数条件收敛. 5、由抛物线2x y  及直线 1  y 所围成的均匀薄片（面密度为  ）对于直线1 :   y l 的转动惯量为lI  C

　（A）Ddxdy x2) 1 ( 

　 (B) Ddxdy x2) 1 ( 

　(C ) Ddxdy y2) 1 ( 

　 (D) Ddxdy y2) 1 ( 

　三、 、（ （9 ）

　分）设     2 , z f x y g x xy    ,其中   f t 二阶可导,   , g u v 具有连续的二阶偏导数,求 dz 及2.zx y 

　解：

　                       " " "1 2" " " " "1 2 22 ,2 2 , ,2 2 , , , 2dz df x y dg x xyf x y dx dy g x xy dx g x xy ydx xdyf x y g x xy yg x xy dx xg x xy f x y dy                          " " "1 22" " " "12 2 222 2 , ,2 2 , , ,zf x y g x xy yg x xyxzf x y xg x xy g x xy xyg x xyx y          四、（9 分）计算二重积分  Ddxdy y x ) ( ，其中 } 2 ) , ( {2 2x y x y x D    . 解：

　  2cos202322420( )cos sin8coscos sin316cos3Dx y dxdyd r r rdrdd         五、（ （9 分）设函数 6 ) , , (        z y x yz zx xy z y x f ，问在点 ) 0 , 4 , 3 ( P 处沿怎样的方向 l ， f 的变化率最大？并求其最大的变化率. 解：

　     3,4,03,4,0 1, 1, 1 3,2,6 f y z x z x y          ， 所以沿方向   3,2,6 l  的变化率最大。最大的变化率为2 2 23 2 6 49 7.    

　六、（ （9 分）求幂级数01nnxn的收敛域及和函数,并求级数01 112 nnn的和. 解：1112lim lim lim 1121nn n nna nna nn    ，所以收敛半径为 1 R  。

　当 1 x   时， 011nnn收敛；当 1 x  时，011nn发散，所以收敛域为   1,1 . 

　设和函数    0, 1,11nnxs x xn  ，则    10, 1,11nnxxs x xn  ，逐项求导得     "01, 1,11nnxs x x xx   ， 所以      01ln 1 , 1,1 .1xxs x dx x xx      由于   ln 1 x   在 1 x   处连续，所以       ln 1 , 1,1 . xs x x x    

　又显然   0 1 s  ，所以      ln 1, 1,0 0,1 ,1, 0xxs xxx      01 1 12ln2.12 2nnsn     七 、 （ 9 分 ）

　已 知 点   0,0 O 及 点   1,1 A , 且 曲 线 积 分   2 2cos sin cos sinOAI ax y y x dx by x x y dy    与路径无关,试确定常数 , a b ,并求 . I

　解：由于积分与路径无关，所以   2 2cos sin cos sin by x x y ax y y xx y    ，即sin 2 sin sin 2 sin by x x y ax y y x     ，亦即     2 sin 2 sin b y x a x y    ，由于sin y x 与 sin x y 线性无关，所以 2. a b  

　                     2 22 22 2 2 22 21,12 20,0cos sin cos sin2 cos sin 2 cos sincos cos cos coscos coscos cos2cos1.OAOAOAOAI ax y y x dx by x x y dyx y y x dx y x x y dyyd x x d y y d x xd yd x y y xx y y x            八 、（ （ 9 分 ）

　计 算 曲 面 积 分   2 , x z dydz zdxdy 其 中  为 有 向 曲 面 2 20 1 z x y z     ,其法向量与 z 轴正向夹角为锐角. 解：设1 为圆盘   2 2, ,1 1 x y x y   ，取下侧。

　 与1 围成的区域记为  ， 由高斯公式，  11010233332zDx z dydz zdxdydxdydzdz dxdyzdz        所以   123223232.2Dx z dydz zdxdyx z dydz zdxdydxdy           其中   2 2, ,0 1 . D x y x y   

　九、（ （9 分）求锥面2 2z x y   被平面 2 3 x z   所截下的有限部分的面积. 解：锥面与平面的交线为2 2 ,2 3z x yx z    它在 xOy 面上的投影为 2211,4 30.x yz   设   221, ,0 14 3x yD x y       ，则 2 22 2 2 2122 6 .DDx yS dxdyx y x ydxdy                 十、（ （7 分）设   f x 为   0,1 上的正值连续函数，证明：

　  12Df x dxdyf y     ,其中   , 0 1,0 1 . D x y x y     

　证明：

　          1 10 01 10 01 10 010101111122.Df x dxdyf ydx f x dyf yf x dx dyf yf x dx dxf xf x dxf xdx                   