韦达定理：对于一元二次方程20( 0) ax bx c a ，如果方程有两个实数根1 2, x x ， 则
1 2 1 2,b cx x x xa a
说明：（1）定理成立的条件 0
（2）注意公式重1 2bx xa 的负号与 b 的符号的区别 根系关系的 几 大用处
① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；
例如：已知方程 x2 -5x+6＝0，下列是它两根的是（
）
A． 3，-2
B. -2, 3
C. -2，-3
D. 3, 2
② 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于 x 1和 x 2 的代数式的值，如 ；
③ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.
④ 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主）
（1 1 ）计算 代数 式的值 例 例 若1 2, x x 是方程22 2007 0 x x 的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2 21 2x x ； (2) 1 21 1x x ； (3) 1 2( 5)( 5) x x ；
(4) 1 2| | x x ． 解：由题意，根据根与系数的关系得：1 2 1 22, 2007 x x x x
(1) 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 ( 2) 2( 2007) 4018 x x x x x x
(2) 1 21 2 1 21 1 2 22007 2007x xx x x x
(3) 1 2 1 2 1 2( 5)( 5) 5( ) 25 2007 5( 2) 25 1972 x x x x x x
(4) 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) 4 ( 2) 4( 2007) 2 2008 x x x x x x x x
说明：
：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 x x x x x x ，1 21 2 1 21 1 x xx x x x ，2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 x x x x x x ， 21 2 1 2 1 2| | ( ) 4 x x x x x x ，2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) x x x x x x x x ， 3 3 31 2 1 2 1 2 1 2( ) 3 ( ) x x x x x x x x 等等．韦达定理体现了整体思想． （2 2 ）构造新方程
理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。
例 解方程组 x+y=5
xy=6
解：显然，x，y 是方程 z2 -5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1 =2,z 2 =3 ∴原方程组的解为 x 1 =2,y 1 =3
x 2 =3,y 2 =2 显然，此法比代入法要简单得多。
（3 3 ）定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程 的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a、b 为 的两根，则 c=2 由题意知 △＝k2 -4×2×2≥0，k≥4 或 k≤-4
∴ 为所求。
【 典型例题 】
例 例 1 已知关于 x 的方程2 21( 1) 1 04x k x k ，根据下列条件，分别求出 k 的值． (1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根1 2, x x 满足1 2| | x x ． 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是1 20 x x ，二是1 2x x ，所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为 5
∴ 2 221 21[ ( 1)] 4( 1) 034, 41 21 54k kk kx x k
所以，当 4 k 时，方程两实根的积为 5．
(2) 由1 2| | x x 得知：
①当10 x 时，1 2x x ，所以方程有两相等实数根，故302k ；
②当10 x 时，1 2 1 20 1 0 1 x x x x k k ，由于
302k ，故 1 k 不合题意，舍去．
综上可得，32k 时，方程的两实根1 2, x x 满足1 2| | x x ． 说明：
根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0 ． ． 例 例 2 已知1 2, x x 是一元二次方程24 4 1 0 kx kx k 的两个实数根．
(1) 是否存在实数 k ，使1 2 1 23(2 )( 2 )2x x x x 成立？若存在，求出 k 的值；
若不存在，请您说明理由．
(2) 求使1 22 12x xx x 的值为整数的实数 k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数 k ，使1 2 1 23(2 )( 2 )2x x x x 成立．
∵ 一元二次方程24 4 1 0 kx kx k 的两个实数根
∴ 24 00( 4 ) 4 4 ( 1) 16 0kkk k k k ，
又1 2, x x 是一元二次方程24 4 1 0 kx kx k 的两个实数根
∴ 1 21 2114x xkx xk
∴ 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(2 )( 2 ) 2( ) 5 2( ) 9 x x x x x x x x x x x x
9 3 94 2 5kkk ，但 0 k ．
∴不存在实数 k ，使1 2 1 23(2 )( 2 )2x x x x 成立．
(2) ∵ 2 2 21 2 1 2 1 22 1 1 2 1 2( ) 4 42 2 4 41 1x x x x x x kx x x x x x k k
∴ 要使其值是整数，只需 1 k 能被 4 整除，故 1 1, 2, 4 k ，注意到 0 k ，
要使1 22 12x xx x 的值为整数的实数 k 的整数值为 2, 3, 5 ． 说明 ：
(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对41 k 为整数的分析方法．
一元二次方程根与系数的关系练习题
A
组 1．一元二次方程2(1 ) 2 1 0 k x x 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )
A． 2 k
B． 2, 1 k k 且
C． 2 k
D． 2, 1 k k 且
2．若1 2, x x 是方程22 6 3 0 x x 的两个根，则1 21 1x x 的值为( )
A． 2
B． 2
C．12
D．92 3．已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于 x 的方程2 2(2 1) 3 0 x m x m 的根，则 m 等于( )
A． 3
B． 5
C． 5 3 或
D． 5 3 或
4．若 t 是一元二次方程20 ( 0) ax bx c a 的根，则判别式24 b ac 和完全平方式2(2 ) M at b 的关系是( )
A． M
B． M
C． M
D．大小关系不能确定 5．若实数 a b ，且 , a b 满足2 28 5 0, 8 5 0 a a b b ，则代数式1 11 1b aa b 的值为( )
A． 20
B． 2
C． 2 20 或
D． 2 20 或
6．如果方程2( ) ( ) ( ) 0 b c x c a x a b 的两根相等，则 , , a b c 之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22 8 7 0 x x 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．若方程22 ( 1) 3 0 x k x k 的两根之差为 1，则 k 的值是 _____ ． 9．设1 2, x x 是方程20 x px q 的两实根，1 21, 1 x x 是关于 x 的方程20 x qx p 的两实根，则 p = _____ ， q = _____ ． 10．已知实数 , , a b c 满足26 , 9 a b c ab ，则 a = _____ ， b = _____ ， c = _____ ． 11．对于二次三项式210 36 x x ，小明得出如下结论：无论 x 取什么实数，其值都不可能等于 10．您是否同意他的看法？请您说明理由．
12．若 0 n ，关于 x 的方程21( 2 ) 04x m n x mn 有两个相等的的正实数根，求mn的值．
13．已知关于 x 的一元二次方程2(4 1) 2 1 0 x m x m ．
(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两根为1 2, x x ，且满足1 21 1 12 x x ，求 m 的值．
14．已知关于 x 的方程2 21( 1) 1 04x k x k 的两根是一个矩形两边的长．
(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？
(2) 当矩形的对角线长是 5 时，求 k 的值．
B
组 1．已知关于 x 的方程2( 1) (2 3) 1 0 k x k x k 有两个不相等的实数根1 2, x x ．
(1) 求 k 的取值范围；
(2) 是否存在实数 k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请您说明理由．
2．已知关于 x 的方程23 0 x x m 的两个实数根的平方和等于 11．求证：关于 x 的方程2 2( 3) 6 4 0 k x kmx m m 有实数根．
3．若1 2, x x 是关于 x 的方程2 2(2 1) 1 0 x k x k 的两个实数根，且1 2, x x 都大于 1．
(1) 求实数 k 的取值范围；
(2) 若1212xx ，求 k 的值．
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