第八节,极限存准则,,两个重要极限

　第八节 极限存在准则

　两个重要极限

　 分布图示

　 ★ 夹逼准则

　 ★ 例 1

　 ★ 例 2

　 ★ 例 3 ★ 例 4

　 ★ 例 5

　 ★ 例 6 ★ 单调有界准则

　★ 例 7★ 例 8 ★ 1sinlim0xxx★ 例 9★ 例 10★ 例 11 ★ 例 12★ 例 13★ 例 14 ★ enxx  11 lim ★ 例 15-16★ 例 17★ 例 18 ★ 例 19★ 例 20 ★连续复利 ★ 内容小结

　 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8

　 内容要点：

　则 一、准则 I）

　（夹逼准则）

　：如果数列n ny x , 及nz 满足下列条件:

　 a) ) , 3 , 2 , 1 (     n z x yn n n;

　 b) , lim , lim a z a ynnnn     那末数列nx 的极限存在, 且 . lim a x nn  注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出ny 与nz , 并且ny 与nz 的极限相同且容易求. 则 二、准则 II（ （ 单调有界准则）

　）：单调有界数列必有极限. 三、

　两个重要极限：

　：

　1. 1sinlim0xxx； ；

　 2． ． exxx  11 lim

　四、连续复利

　设初始本金为 p (元), 年利率为 r, 按复利付息, 若一年分 m 次付息, 则第 n 年末的本利和为 mnnmrp s   1

　如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数 m 趋于无穷大时, t 年末的本利和可按如下公式计算 rtmtmpemrp s    1 lim

　若要 t 年末的本利和为 s, 则初始本金rtse p .

　例题选讲：

　夹逼准则的应用

　例 例 1 （E01 ）求 .12111lim2 2 2   n n n nn

　解

　n nn2n n n  2 211112nn 又 , 1111lim lim2   nn nnn n, 1111lim1lim22   nnnn n 由夹逼定理得 . 112111lim2 2 2  n n n nn

　 例 例 2 求 . ) 3 2 1 ( lim1nn nn   解

　由 ,31321 3 ) 3 2 1 (11nn nnn n     易见对任意自然数 , n 有 , 331321 1    n n 故 . 3 331321 3 1 3111nnn nn    

　而 , 3 1 3 lim1  nn, 3 3 3 lim1  nn所以 nn nn1) 3 2 1 ( lim   nn nn131321 3 lim   . 3 

　 例 例 3 （E02 ）求 .!limnnnn  解

　由n n n nnnnn  3 2 1 !n n n nn n n   2 1,22n 易见 .2 !02n nnn  又 . 02lim2 nn 所以 . 0!lim2 nnn

　例 例 4 求 . limnnn  解令 ), 0 ( 1   n nnr r n 则 nnr n ) 1 (  nn n nr rn nnr     2! 2) 1 (1 ), 1 (! 2) 1 (2 n rn nn因此 , .120 nr n

　由于 , 012lim  nn所以 . 0 lim  nnr

　故 . 1 lim 1 ) 1 ( lim lim          nnnnnnr r n

　 例 例 5(E03)求极限 . cos lim0xx 解

　因为 ,2 222sin 2 cos 1 0222 x x xx       故有准则I,得 , 0 ) cos 1 ( lim0 xx 即

　. 1 cos lim0xx

　例 例 6 求极限 .1lim0xxx 解当 0  x 时,x x x1 111  ，因此，当 0  x 时, 111  xx x

　由夹逼定理可得 , 11lim0 xxx当 0  x 时，有 111  xx x

　由夹逼定理可得 , 11lim0 xxx从而 . 11lim0xxx

　单调有界准则的应用

　例 例 7 设有数列 31 x ， , , 31 2 x x  13 n nx x , 求 . limnnx  证显然 ,1 n nx x } {nx  是单调递增的.下面利用数学归纳法证明 } {nx 有界. 因为 , 3 31  x 假定 , 3 kx 则k kx x  313 3  . 3 

　所以 } {nx 是有界的.从而 A x nn lim 存在. 由递推关系 , 31 n nx x  得 , 321 n nx x  故 ), 3 ( lim lim21 nnnnx x    即 , 32A A  

　解得 ,213 1 A213 1 A (舍去).所以 .213 1lim nnx

　 例 例 8 设 0  a 为常数, 数列nx 由下列定义: ) , 2 , 1 (2111   nxax xnn n 其中0x 为大于零的常数，求 . limnnx  解先证明数列nx 的极限的存在性. 由 1121nn nxax x  , 2121a x x xn n n  即 a x x xn n n  2 21 )(  .2a x n 

　由 , 0  a , 00 x 知 , 0 nx 因此 , a x n  即nx 有下界.

　又 , 121211212 21   n n nnxaxaxx故数列nx 单调递减，由极限存在准则知nnx lim 存在.

　不妨设 , lim A x nn 对式子 1121nn nxax x 两边取极限得: .21 AaA A

　解之得 , a A 即 . lim a x nn 

　两个重要极限的应用

　例 例 9 （E04 ）求 xxxtanlim0 . 解

　x xxxxx xcos1 sinlimtanlim0 0  x xxx xcos1limsinlim0 0    . 1 

　 例 例 10 求 .5 sin3 tanlim0xxx 解x xxxxx x3 cos15 sin3 sinlim5 sin3 tanlim0 0  xxxxxx3 cos15355 sin33 sinlim0 15311   .53

　 例 例 11(E05)求 .cos 1lim20xxx 解原式2202sin 2limxxx22022sinlim21xxx2022sinlim21 xxx2121  .21

　 例 例 12 下列运算过程是否正确：

　1sinlimtanlimsin.tanlimsintanlim      xxxxxxxxxxx x x x x x x x 解 解这种运算是错误的.当 0  x 时, , 1tanxx, 1sinxx本题 ,   x 所以不能应用上述方法进行计算.正确的作法如下：

　令 , t x    则 ; t x    当   x 时, , 0  t 于是 ) sin() tan(limsintanlim0ttxxt x tttsintanlim0 . 1sintanlim0  ttttt

　例 例 13 计算 .3 cos coslim20xx xx 解

　203 cos coslimxx xx20sin 2 sin 2limxx xxxxxxxsin22 sin 4lim0 . 4 

　 例 例 14(E06)求 .2 sin2 sinlim0x xx xx 解 .312 12 122 sin2 122 sin2 1lim2 sin12 sin1lim2 sin2 sinlim0 0 0   xxxxxxxxx xx xx x x

　例 例 15 （E07）

　）求311 lim nnn. 解311 lim nnn    31111 limn nnn31111 lim     n nnn1   e . e 

　 例 例 16 （E08 ）求 . ) 2 1 ( lim/ 10xxx  解xxx10) 2 1 ( lim 2210) 2 1 ( lim xxx .2  e

　 例 例 17 （E09 ）求 xxx 11 lim

　解xxx 11 limxxx  11 lim111 lim  xxxxxx 111lim .1e

　 例 例 18 （讲义例 10 ）求 .23lim2xxxx 

　解xxxx223lim  2211 lim  xxx22 2211 lim   xxx 422211211 lim   x xxx.2e 

　 例 例 19 求 .1lim22xxxx  解xxxx 1lim22xxx  111 lim211222111 lim  xxxxx0e  . 1 

　 例 例 20 计算 . ) ( lim/ 10x xxx e  解xxxx e10) ( lim xxxxxexe1101 ) ( lim  xxexexxexe101 lim e e  .2e 

　 连续复利

　例 例 21 （E11 ）

　一投资者欲用 1000 元投资 5 年, 设年利率为 6%,试分别按单利、复利、每年按 4 次复利和连续复利付息方式计算, 到第 5 年末, 该投资者应得的本利和 A. 注 注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题. 解按单利计算 1300 5 06 . 0 1000 1000      S (元). 按复利计算 23 . 1338 33823 . 1 1000 ) 06 . 0 1 ( 10005      S (元). 按每年计算复利 4 次计算 86 . 1346 34686 . 1 1000 015 . 1 1000406 . 01 1000205 4      S (元). 按连续复利计算 86 . 1349 1000 10003 . 0 5 06 . 0    e e S (元). 注 注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题.

　 课堂练习

　1. 求极限 .sinsin tanlim20x xx xx

　2. 求极限 . ) 9 3 ( lim1xx xx 