函授概率论与数理统计复习题 一、填空题 1、已知 P(A)=P(B)=P(C)=25 . 0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15 . 0，则 A、B、C 中至少有一个发生的概率为
0.45
。
2、A、B 互斥且 A=B，则 P(A)=
0
。
3．把 9 本书任意地放在书架上，其中指定 3 本书放在一起的概率为
112
4. 已知( ) 0.6 P A ，( ) 0.8 P B ，则( ) P AB的最大值为 0.6 ，最小值为 0.4。
5、设某试验成功的概率为 0.5，现独立地进行该试验 3 次，则至少有一次成功的
概率为
0.875
6、 已知( ) 0.6 P A ，( ) 0.8 P B ，则( ) P AB的最大值为
0.6
。
，最小值为
0.4
。
7、设 A、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A∣ B )=0.6，则 P(A∪B)=
0.88
。
8、设 X、Y 相互独立， X ~) 3 , 0 ( U,Y 的概率密度为其它 , 00 ,41) (41x ex fx
，则(2 5 3) E X Y
-14
， (2 3 4) D X Y
147
。
9．设 A、B 为随机事件, P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, 若 P(A|B) =0.5, 则 P(AB) = ____0.5___;
若 A 与 B 相互独立, 则 P(AB) =
___0.58______.
10.已知( ) 0.5, ( ) 0.6, ( ) 0.2 P A P B P A B ，则( ) P AB＝
0.3
11．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P{ 1 < X < 3} = ____2/5_______.
12．设随机变量 X 的分布函数为 ,2
, 1
2 1
, 6 . 01 1
, 3 . 01
, 0
) ( xxxxx F
则 X 的分布律为 _ X
1
1
2
p
3 . 0
3 . 0
4 . 0
__________________
______ . 13．若离散型随机变量 X 的分布律为
则常数 a = ____0.3_____; 又 Y = 2X + 3, 则 P{Y > 5} = ____0.5_____ . 14、设 A、B 为随机事件，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8，则 P(A+B)=__ 0.7 __。
15．设随机变量 X 服从二项分布 b(50, 0.2), 则 E(X) = ___10_____, D(X) = _____8______. 16．设随机变量 X ~ N(0, 1), Y ~ N(1, 3), 且 X 和 Y
相互独立, 则 D(3X 2Y)=
. 17．设随机变量 X 的数学期望 E(X) = , 方差 D(X) =
2 , 则由切比雪夫不等式有 P{|X
| < 3
} _____8/9___. 二、选择题 1．设 A, B, C 是三个随机变量，则事件“A, B, C 不多于一个发生” 的逆事件为(
D
). (A)
A, B, C 都发生
(B) A, B, C
至少有一个发生
(C)
A, B, C 都不发生
(D) A, B, C 至少有两个发生
2、射击 3 次，事件iA 表示第 I 次命中目标（I=1,2,3），则事件（
D ）表示恰命中一次。
（A）3 2 1A A A
（B）
1 2 3 1 2 1A A A A A A
X 1 2 3 p k 0.5 0.2 a
（C）
ABC
（D）3 2 1 3 2 1 3 2 1A A A A A A A A A
3、事件 A ， B 为任意两个事件，则（
D ）成立。
（A）
A B B A
（B）
A B B A
（C）
A B B A
（D）
B A B B A
4、设 A 、 B 为两事件，且 A B ，则下列式子正确的是（ A
）。
（A）
A P B A P
（B）
A P AB P
（C）
B P AB P
（D）
A P B P A B P
5．设随机变量 X, Y 相互独立,
与
分别是 X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y} 分布函数
为 (
C
).
(A) max{ , }
(B)
+
(C)
(D)
或
6、如果常数 C 为（B
）。则函数 x 可以成为一个密度函数。
（A）任何实数 （B）正数
（C）1
（D）任何非零实数 7．对任意两个随机变量 X 和 Y, 若 E(XY) = E(X)E(Y), 则 ( D
).
(A) X 和 Y 独立
(B) X 和 Y 不独立
(C) D(XY) = D(X)D(Y)
(D) D(X + Y) = D(X) + D(Y)
8、袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机摸出 4 个球，其中恰有 3个白球的概率为（
D ）。
（A）53
（B）81535
（C）81533
（D）485C
9．设随机变量 X 的概率密度为 f (x), 且满足 f (x) = f (x), F(x) 为 X 的分布函数, 则对任意实数 a, 下列式子中成立的是 (
A
).
(A)
(B)
(C)
(D)
10.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1),则B21} 0 {
) A ( Y X P
21} 1 {
) B ( Y X P
21} 0 {
) C ( Y X P
21} 1 {
) D ( Y X P
11．设 X 1 , X 2 , …, X n
(n 3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望
的无偏估计量的是 (
C
). (A) X
(B) 0.1 (6X 1
+ 4X 2 )
(C)
(D) X 1
+ X 2
X 3
三、计算题 1、一批同一规格的产品由甲厂和乙厂生产，甲厂和乙厂生产的产品分别占 70％和 30％，甲乙两厂的合格率分别为 95％和 90％，现从中任取一只，则（1）它是次品的概率为多少？（2）若为次品，它是甲厂生产的概率为多少？
解：设 A ‘次品’， B ‘产品是甲厂生产’ 依题意有：
% 70 ) ( B P ， % 30 ) ( B P ， % 5 ) | ( B A P ， % 10 ) | ( B A P ，
（1）
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A P B P A B P B P A B ＝ 065 . 0 % 10 30 % 5 % 70
（2）) ( ) | ( ) ( ) | () ( ) | () | (B P B A P B P B A PB P B A PA B P
5385 . 03 . 0 1 . 0 7 . 0 05 . 07 . 0 05 . 0
2、某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45%、35%、20%，各厂商的次品率分别为 4%、2%、5%，现从中任取一件产品，(1) 求这件产品是次品的概率; (2) 若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率?
解：设 A 事件表示“产品为次品”，B 1 事件表示“是甲厂生产的产品”，B 2 事件表示“是乙厂生产的产品”，B 3 事件表示“是丙厂生产的产品”
(1) 这件产品是次品的概率: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 1 1B P B A P B P B A P B P B A P A P
035 . 0 2 . 0 05 . 0 35 . 0 02 . 0 45 . 0 04 . 0
(2) 若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:
3518035 . 045 . 0 04 . 0) () ( ) () (1 11 A PB P B A PA B P
3、用 3 个机床加工同一种零件，零件由 3 个机车加工的概率分别为 0.5, 0.3, 0.2,各机床加工零件的合格率分别为 0.94, 0.9, 0.95,求全部产品中的合格率。
解：设 任取一件产品为合格品 B
产品的事件， 分别表示取到三个车间 ， ，， 3 2 1A A A 则由条件 2 . 0 , 3 . 0 , 5 . 03 2 1 A P A P A P
95 . 0 , 90 . 0 , 94 . 03 2 1 A B P A B P A B P
由全概率公式
93 . 0 95 . 0 2 . 0 90 . 0 3 . 0 94 . 0 5 . 0 B P
4、设连续型随机变量 X 的概率密度为 ，其他
, 0
0 , sin) ( x x Ax f
求 : (1) 常 数 A 的 值 ; (2) 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 F(x); (3) }.2 3{ X P
解：(1)
A x x A x x f 2 d sin d ) ( 10
21 A
(2)
xt t f x F d ) ( ) (
0 d 0 d ) ( ) ( 0 x xt t t f x F x 时， 当
) cos 1 (21d sin210d d ) ( ) ( 000x t t t t t f x F xx x 时， 当
1 0d d sin210d d ) ( ) (00 x xt t t t t t f x F x 时， 当
所以 xt t f x F d ) ( ) ( = xx xx, 10 ), cos 1 (210 , 0
(3) 414121)3( )2( }2 3{ F F X P
5、一个袋中共有 10 个球，其中黑球 3 个，白球 7 个，先从袋中先后任取一球（不放回）(1) 求第二次取到黑球的概率; (2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率? 解：设 A 事件表示“第二次取到黑球，B 1 事件表示“第一次取到黑球”，B 2 事件表示“第一次取到白球”，
(1) 第二次取到黑球的概率: ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1B P B A P B P B A P A P
3 . 01079310392
(2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率: 923 . 010392) () ( ) () (1 11 A PB P B A PA B P
6、设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为
求:
(1) 求 X, Y 的边缘概率密度 f X (x), f Y (y), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P{ X + Y 1}
解：(1) 其它 ， 02 0 ), 2 (21d ) 2 (d ) , ( ) (10x x y y xy y x f x f X
其它 ， 01 0 , 2 d ) 2 (d ) , ( ) (20y y x y xx y x f y f Y
因为 ) , ( ) ( ) ( y x f y f x fY X ，所以 X 与 Y 是相互独立的.
(2)
247d ) 1 )( 2 (21d ) 2 ( d } 1 {1021010 x x x y y x x Y X Px 7、设二维随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为
求:
(1) 求 X, Y 的边缘概率密度 f X (x), f Y (y), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P{ X + Y 1}
解：
(1) 其它 ， 02 0 ), 2 (21d ) 2 (d ) , ( ) (10x x y y xy y x f x f X
其它 ， 01 0 , 2 d ) 2 (d ) , ( ) (20y y x y xx y x f y f Y
因为 ) , ( ) ( ) ( y x f y f x fY X ，所以 X 与 Y 是相互独立的.
(2)
247d ) 1 )( 2 (21d ) 2 ( d } 1 {1021010 x x x y y x x Y X Px 8 8 、已知连续型随机变量 X X 的密度函数为
其它
, 0) , 0 (
,2) (2a xxx f
求（1 1 ）a a ；
（2 2 ）分布函数 F (x) ；（3 3 ）
P ( － 0.5 < X < 0.5 ) 。
解 ：202(1)
( )
1
axf x dx dxa 22 202 0
( ) ( ) 0
2
0
( ) ( )
( ) ( ) 1
xx xxx F x f t dtt x x F x f t dt dtx F x f t dt （ ）当 时，当 时，当 时，22
0,
0
( ) ,
0
1,
xx F x xx 故
(3) P （- - 0.5<X<0.5 ）
=F(0.5) — F(- - 0.5)=241
9 9 、已知连续型随机变量 X X 的分布函数为
2
, 02
, 1) (2xxxAx F
求（1 1 ）A A ；
（2 2 ）密度函数 f (x) ；（3 3 ）
P (0 ≤
X ≤
4 ) 。
、解：2(1)
lim ( ) 1 /4 0
4
xF x AA 328,
2
( )
( )
0,
2xf x F x xx （ ）
(3) P （ 0<X<4 ）
=3/4
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